|
my math problem collection
ผมได้เก็บรวมรวมโจทย์เลขจากที่ต่างๆ ที่ผมเห็นตั้งแต่ตอนผม ม.ปลาย จนถึงปี 2 เกือบประมาณ 1300 ข้อแล้วครับตอนนี้ (ตอนนี้ผมเรียนปี 4) ก็เลยกะว่า จะมาปล่อยในนี้ครับ โจทย์ที่เห็นอาจจะคุ้นหน้าคุ้นตา user ท่านอื่นๆ เพราะว่าผมเองก็ไม่ใช่คนแต่งโจทย์ เป็นเพียงคนเก็บสะสมมานาน เฉยๆ ถ้าข้อไหนเคยเฉลยแล้ว ก็อย่าว่ากันนะครับ :wacko: ผมจะค่อยๆปล่อยละกัน :) ความยากของโจทย์ก็มีคละๆกันไป
1. จงหาค่่าของ $\displaystyle{\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-...}}}}$ ในรูป $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ เมื่อ $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ $x^8 = 2207-\frac{1}{x^8}$ กำหนดให้ $y = x^4$ แล้วแก้สมการ $(y+\frac{1}{y})^2=2209$ $y+\frac{1}{y} = 47$ $x = \frac{2207-987\sqrt{5}}{2}$ 2. กำหนดให้ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ เป็นคำตอบ 4 คำตอบในสมการ $\left| x^2-3x+2\right| =mx$ 2.1) จงหาช่วงของค่า $m$ ที่ทำให้ $\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\delta$ วาดกราฟ $y = \left| x^2-3x+2\right| $ และ $y = mx$ จะรู้ได้ว่า ค่าของ $m$ ที่มากที่สุด ที่จะทำให้ สมการมีคำตอบสี่คำตอบ คือ จุดก่อนที่ $y = mx$ จะสัมผัสกับ $y = \left| x^2-3x+2\right|$ อยู่ในช่วง $(1,1.5)$ ทำให้ $y = -x^2+3x-2$ แทนค่า $y = mx$ ลงในสมการ จะได้ $mx = -x^2+3x-2$ เมื่อแก้สมการดูก็จะรู้ว่า $m \in (0,3-2\sqrt{2})$ กำหนดให้ $\alpha,\beta$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-3x+2 = mx \rightarrow x^2+(-3-m)x+2=0$ และ $\gamma,delta$ เป็นคำตอบของสมการ $-x^2+3x-2 = mx \rightarrow x^2+(m-3)x+2=0$ $\alpha + \beta = m+3 ,\alpha\beta = 2 \rightarrow \alpha^2+\beta^2 = m^2+6m+5$ $\gamma + \delta = -m+3 ,\gamma\delta = 2 \rightarrow \gamma^2+\delta^2 = m^2-6m+5$ $S = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}$ $S = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}+\frac{\gamma^2+\delta^2}{\gamma^2\delta^2}$ $S = \frac{1}{4}(m^2+6m+5)+\frac{1}{4}(m^2-6m+5)$ $S = \frac{1}{2}(m^2+5)$ เรารู้ว่า $0 < m < 3-2\sqrt{2}$ $5 < m^2+5 < 22 -12\sqrt{2}$ $\frac{5}{2} < S < 11-6\sqrt{2}$ $\displaystyle{\sqrt[2003]{2\sqrt{11}-3\sqrt{5}}\sqrt[4006]{89+12\sqrt{55}} = ((2\sqrt{11}-3\sqrt{5})^2)^{\frac{1}{4006}}(89+12\sqrt{55})^{\frac{1}{4006}}}$ $\displaystyle{= \sqrt[4006]{89^2-(12\sqrt{55})^2}} = -1$ 4. กำหนดให้ $x,y > 0$ ที่ทำให้ $$3 = k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$ จงหาค่าที่เป็นไปได้มากสุดของค่า $k$ 5. กำหนดให้ $m \otimes n = \frac{m+n}{mn+4}$ จงหาค่าของ $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$ |
ขอบคุณสำหรับน้ำใจ ครับ พี่ Innoxent
มีแต่โจทย์โหด ๆ ขอผมนั่งดูอย่างเดียวละกัน 555555555555. :haha::haha: |
ความจริง พี่ก็ทำได้ไม่หมดหรอกครับ ที่ทำมา ก็มั่วๆไป ฮ่าๆๆ :( ช่วยเฉลยหน่อยก็ดีนะ
|
5. $m \otimes n = \dfrac{m+n}{mn+4}$
ได้ ว่า $k \otimes 2 = \dfrac{k+2}{2k+4}$ = $\dfrac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ดังนั้น $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$ = $(\dfrac{1}{2}\otimes 1)\otimes 0 = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{1}{3} \otimes 0 = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{4} = \dfrac{1}{12}$ |
4.$3=k^2\Big(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\Big)+k\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)=k^2\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)^ 2+k\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)-2k^2\ge 2k^2+2k$
ดังนั้น $max(k)=\dfrac{-1+\sqrt 7}{2}$ |
6. จงหาค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $
จัดรูปข้างในค่า Absolute จะได้ $\displaystyle{\sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x} = \sin{x}+\cos{x}+\frac{2}{\sin{x}+\cos{x}-1}}$ โดยที่ $\sin{x}+\cos{x} \neq -1 \rightarrow x\neq\pi$ ให้ $\alpha = \sin{x}+\cos{x} = \sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}$ โดยที่ $-\sqrt{2}\leq\alpha\leq\sqrt{2}$ จะได้ $f(\alpha) = \alpha + \frac{2}{\alpha - 1}$ ใช้ Calculus นิดหน่อย จะได้ว่าในช่วง $\alpha \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ มีค่าวิกฤตสามค่า นั่นก็คือ $-\sqrt{2},\sqrt{2},1-\sqrt{2}$ เมื่อลองแทนดูก็จะได้ $f(\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+2$ $f(-\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}+2$ $f(1-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}+1$ ค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $ คือ $2\sqrt{2}-1$ 7. ถ้า $\displaystyle{\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2004}{2005}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}$ http://www.mathcenter.net/forum/show...52&postcount=9 http://www.mathcenter.net/forum/show...4&postcount=11 8. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+... < \pi}$ อันนี้เป็นวิธีที่ผมคิดได้ ไม่รู้ว่ามีใครมีวิธีที่สวยกว่านี้รึเปล่านะครับ สังเกตว่า $\displaystyle{{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})} = \frac{\pi}{2}}}$ ดังนั้น เราต้องการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{4^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{5^2})}+... < \frac{\pi}{2}}$ ค่าในฟังก์ชัน arctan เมื่อเราบวกไปเรื่อย จะพบว่ามันจะถูกไล่เป็นลำดับ ดังนี้ $\displaystyle{\frac{2}{9},\frac{5}{14},\frac{9}{20},\frac{14}{27},\frac{20}{35},...,\frac{\frac{1}{2}(n^2+3n)}{\frac{1}{2}(n^2+ 7n+10)}}$ ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}{\frac{2}{n^2}} = \frac{\pi}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\tan^{-1}{(\frac{n^2+3n}{n^2+7n+10})}}$ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}{\frac{2}{n^2}} = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} < \pi}$ 9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$ 10. กำหนดให้ $\displaystyle{S = \cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{2549})}}$ จงหาค่าของ $\log_{\frac{1}{S}}{1024S}$ $\displaystyle{2S\sin{(\frac{\pi}{2549})} = 2\sin{(\frac{\pi}{2549})}(\cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{ 2549})})}$ $\displaystyle{2S\sin{(\frac{\pi}{2549})} = (\sin{(\frac{2\pi}{2549})}+\sin{(\frac{4\pi}{2549})}+...+\sin{(\frac{2548\pi}{2549})})-(\sin{(\frac{2\pi}{2549})}+\sin{(\frac{4\pi}{2549})}+...+\sin{(\frac{2546\pi}{2549})})}$ $\displaystyle{S = \frac{\sin{(\frac{2548\pi}{2549})}}{2\sin{(\frac{\pi}{2549})}}} = \frac{1}{2}$ $\log_{\frac{1}{S}}{1024S} = \log_2{512} = 9$ |
9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$
$\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} = S $ $\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{13}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{17}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \geq 3$ พิจารณา $\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \geq 0 $ $(x-\frac{3}{2})^2 \geqslant \frac{25}{4}$ แทนในรากทุกตัว $S \geqslant \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{13}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{17}{4}}+ \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{21}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{25}{4}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{1} + 0 \geq 3 $ :great: edit : เผื่อใครงง สรุปช่วง ตอบ $(-\infty,-1] \cup [4,\infty)$ มาจาก $x^2-3x-4 \geq 0 $ |
อ้างอิง:
จะได้ $xyz=\dfrac{2004}{2005}$ จาก $(x+1)(y+1)(z+1)=\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ และ $(x-1)(y-1)(z-1)=\dfrac{-8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)=0$ $xyz+x+y+z=0$ $\therefore x+y+z=-\dfrac{2004}{2005}$ $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} = \dfrac{x+1}{2}+\dfrac{y+1}{2}+\dfrac{z+1}{2}=\dfrac{4011}{4010}$ |
ข้อ 10 Hint : คูณ 2sin pi/2549 เข้าไป
|
ผมมาแถมให้ครับ :)
ข้อ 7 สังเกตว่า $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ ก็จะได้ว่า $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{1}{2}(3-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)})$ |
ข้อ 8. นี่ทำยังไงเหรอครับ :wacko:
|
11. กำหนดให้ $\displaystyle{\delta = x^{x^{x^{x^{...}}}}}$ เมื่อ $\delta\in\mathbb{R}$ จงหาค่าสูงสุดของ $\delta$
กำหนดให้ $\displaystyle{y = x^{x^{x^{x^{...}}}}} \rightarrow y = x^y \rightarrow \ln{y} = y\ln{x}$ $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y} = \ln{x}}$ ต้องดูว่า $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y}}$ มีค่าอะไรได้บ้าง ใช้แคลคูลัส หาจุดวิกฤติ ก็จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y} \leq \frac{1}{e}}$ ดังนั้น $x \in (-\infty,e^{\frac{1}{e}})$ จาก $\displaystyle{y = x^y \rightarrow y^{\frac{1}{y}} = x}$ ดังนั้น ค่ามากสุดของ $\delta = e$ 12. กำหนดให้ $A = \bmatrix{1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2}$ $B = A^{15}+A^{14}+...+I$ $C = A^{15}-A^{14}+A^{13}-...+A-I$ จงหา $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}}}$ สังเกตว่า $B = (A+I)(A^2+I)(A^4+I)(A^8+I)$ และ $C = (A-I)(A^2+I)(A^4+I)(A^8+I)$ ดังนั้น $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}} = \frac{\det{A}\det{B}}{\det{C}} = \frac{\det{A}\det{(A+I)}}{\det{(A-I)}} = \frac{4\times (-1)}{9}} = -\frac{4}{9}$ 13. จงแก้ระบบสมการ $x + y + z = 0$ $x^3+y^3+z^3 = 12$ $x^6+y^6+z^6 = 264$ 14. จงแก้สมการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{1}{x})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+3})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+6})} = \frac{\pi}{4}}$ ย้ายข้างสักตัว แล้ว take $\tan$ ธรรมดา จะได้ สมการ $x^3+6x^2-3x-26 = 0$ $x = 2, -4\pm\sqrt{3}$ 15. กำหนดให้ $a+b+c = 1$ และ $a^2+b^2+c^2 = 2$ จงหาค่าสูงสุดของ $\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}$ |
15. $\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}= (ab+bc+ca+1)(a+b+c+1)= 2(1-\dfrac{1}{2})=1$
มันเท่ากับเลยอ่ะครับ ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ |
13. $x+y+z= 0 , x^3+y^3+z^3= 3xyz$ จะได้ $xyz=4$
$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3 = -60$ $x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2= (xy+yz+zx)(xy+yz+zx)^2$ $xy+yz+zx = -3\sqrt[3]{4}$ เพราะฉะนั้น x,y,z เป็นราของสมการ $A^3-3\sqrt[3]{4}A-4=$ $A= \sqrt[3]{16}, -\sqrt[3]{2},-\sqrt[3]{2}$ |
12 Hint: AB = ? , AC = ?
|
16. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ ที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{(\frac{a}{b})^n+(\frac{b}{c})^n+(\frac{c}{a})^n=(\frac{b}{a})^n+(\frac{c}{b})^n+(\frac{a}{c})^n}$
17. กำหนดให้ $x_1,x_2,...x_{84}$ เป็นรากของ $x^{84}+7x-6 = 0$ จงหา $\displaystyle{\sum_{k=1}^{84}\frac{x_k}{x_k-1}}$ 18. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$ ที่ทำให้ $\left| a+b+c\right| \leq 3 $ $\left| a-b+c\right| \leq 2 $ $\left| a+b-c\right| \leq 1 $ จงหาค่ามากที่สุดของ $\left| a+2b+3c\right|$ 19. กำหนดให้ $P(x) = x^6-x^5-x^3-x^2-x$ และ $Q(x) = x^4-x^3-x^2-1$ $Q(x)$ มี $z_1,z_2,z_3,z_4$ เป็นราก จงหาค่าของ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)$ สังเกตว่า $P(x) = x^2Q(x)+Q(x)+x^3+x^2+1$ ดังนั้น $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4) = (z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3)+(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)+4$ เรารู้ว่า $z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^2-2(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4) = 1^2-2(-1) = 3$ และ $z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^3-3(z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1^2z_4+z_2^2z_1+z_2^2z_3+z_2^2z_4+z_3^2z_1+z_3^2z_2+z_3^2z_4+z_4^2z_1+z_4^2z_2+z_4^2z_3)-6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)$ สังเกต $z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1^2z_4+z_2^2z_1+z_2^2z_3+z_2^2z_4+z_3^2z_1+z_3^2z_2+z_3^2z_4+z_4^2z_1+z_4^2z_2+z_4^2z_3$ $= z_1^2(z_2+z_3+z_4)+z_2^2(z_1+z_3+z_4)+z_3^2(z_1+z_2+z_4)+z_4^2(z_1+z_2+z_3)$ $= z_1^2(1-z_1)+z_2^2(1-z_2)+z_3^2(1-z_3)+z_4^2(1-z_4)$ $= z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2-z_1^3-z_2^3-z_3^3-z_4^3$ ดังนั้นทั้งก้อนด้านบนจะได้ $z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^3-3(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2-z_1^3-z_2^3-z_3^3-z_4^3)-6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)$ $z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = \frac{1}{2}(6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)- (z_1+z_2+z_3+z_4)^3+3(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2))$ $z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = \frac{1}{2}(6(1)-1^3+3(3)) = 7$ ดังนั้น $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4) = 7+3+4 = 14$ 20. จงหาค่า $a < b < c$ ทั้งหมด ที่ทำให้ $2^a+2^b+2^c = 33554466$ $2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 16777233\times2$ $a = 1$ $2^{b-1}+2^{c-1} = 16777232$ $2^{b-1}(1+2^{c-b}) = 1048577\times16$ $b = 5$ $2^{c-5} = 1048576$ $c = 25$ |
19.ใช่6รึเปล่าครับ
|
ไม่ทราบเหมือนกันครับ เพราะโจทย์ที่ผมโพสท์ส่วนใหญ่ ผมยังไม่เคยลองทำ ผมโพสท์แล้วถึงจะมาลองทำกับทุกๆคนในนี้นี่แหละ :(
|
อ้างอิง:
|
16. Induction หรือ สมมุติตัวแปร $x,y,z$
19. $Q(x)$ หาร $P(x)$ 20. $2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 33554466$ |
ข้อ 17 เเอบอธิบายยากมากๆๆๆๆ
สังเกตก่อนว่า$ x_1 -1,x_2 -1 ,...,x_{84} - 1$ เป็นรากของสมการ$ (x+1)^{84} + 7(x+1) - 6 = 0$ นั่นคือ$ x^{84} + ... + 91x+2=0$ ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{84}\frac{1}{x_k -1}$ $= \sum_{n=1}^{84}\frac{ผลบวกของผลคูณที่ละ 83 ตัว}{ผลคูณราก 84 ตัว}$ $= -\frac{91}{2}$ ทำให้ $\sum_{n = 1}^{84}\frac{x_k}{x_k -1}$ $= \sum_{n = 1}^{84}(1+\frac{1}{x_k -1}) $ $= 84 - \frac{91}{2}$ $=\frac{77}{2}$ |
my math problem collection
อ้างอิง:
คิดยังไงครับ ผมยังมองไม่ออกเลย |
อ้างอิง:
|
16 สมมติ $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$
จาก $x+y+z=xy+yz+zx$ และ $xyz=1$ $x+y+z-1=xy+yz+zx-1$ $xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$ $(x-1)(y-1)(z-1)=0$ $(x^n-1)(y^n-1)(z^n-1)=0$ จัดรูปจะได้ตามต้องการครับ |
อ้างอิง:
ดูที่ $k = (...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 3)$ ครับ |
ข้อ 18. นี่คิดไม่ออกจริงๆนะเนี่ย :sweat:
|
ข้อ 18 ผมลองคิดมั่วๆ ดูนะครับ โดยถอด absolute ออกก่อนจะได้
$-3\leqslant a+b+c \leqslant 3$ คูณ 2.5 ทั้งอสมการได้ $-7.5 \leqslant 2.5a+2.5b+2.5c \leqslant 7.5$ $-2\leqslant a-b+c \leqslant 2$ คูณ -0.5 ทั้งอสมการได้ $-1 \leqslant -0.5a+0.5b-0.5c \leqslant 1$ $-1\leqslant a+b-c \leqslant 1$ คูณ -1 ทั้งอสมการได้$ -1 \leqslant -a-b+c \leqslant 1$ บวกกันหมดจะได้ $-9.5 \leqslant a+2b+3c \leqslant 9.5$ $|a+2b+3c|\leqslant 9.5$ น่าจะตอบ $9.5$ สำหรับตัวคูณ ถ้าถามว่ารู้ได้อย่างไรว่าต้องคูณด้วย 2.5 , -0.5 , -1 ผมให้ตัวคูณเป็น x , y , z เเล้วตั้งสมการ $$x+y+z = 1$$ $$x-y+z=2$$ $$x+y-z=3$$ |
21. จงหาค่า $x,y,z \in \mathbb{I}$ ทั้งหมดที่ทำให้
$x^3-4x^2-16x+60=y$ $y^3-4y^2-16y+60=z$ $z^3-4z^2-16z+60=x$ 22. กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \left\lfloor\frac{n^2+11n+270}{n+12}\right\rfloor }$ จงหา $a_{100}+a_{101}+...+a_{400}$ $\displaystyle{a_n = \left\lfloor n-1+\frac{282}{n+12}\right\rfloor }$ $\displaystyle{a_n = \cases{n-1+\left\lfloor\frac{282}{n+12}\right\rfloor & , 0 < n \leq 270 \cr n-1 & , n > 270} }$ พิจารณา ค่าใน floor function เฉพาะค่า 100 ถึง 400 จะได้ $\displaystyle{\left\lfloor\frac{282}{n+12}\right\rfloor = \cases{2 & , 100\leq n\leq 129 \cr 1 & , 129< n \leq 270 \cr 0 & , 270 < n \leq 400} }$ $\displaystyle{a_{100}+a_{101}+...+a_{400} = \sum_{n=100}^{400} n - 400+2(129-100+1)+1(270-130+1)}$ $\displaystyle{a_{100}+a_{101}+...+a_{400} = \frac{400(400+1)}{2}-400+60+141} = 80001$ 23. จงแก้สมการ $(\sin{x}+\sin{(2x)}+\sin{(3x)})^2+(\cos{x}+\cos{(2x)}+\cos{(3x)})^2 = 1$ 24. กำหนดให้ $\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt[3]{1000}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1001}}++\frac{1}{\sqrt[3]{1002}}+...+\frac{1}{\sqrt[3]{1000000}}}$ จงหาค่าของ $\left\lfloor\frac{A}{4}\right\rfloor $ $\displaystyle{\int_{10^3}^{10^6+1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx \leq \sum_{x=10^3}^{10^6}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{1000}}+\int_{10^3}^{10^6}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx}$ $\displaystyle{14850.01 \leq A \leq 14850.1}$ $\displaystyle{3712.5025 \leq \frac{A}{4} \leq 3712.525}$ $\displaystyle{\left\lfloor\frac{A}{4}\right\rfloor = 3712}$ 25. กำหนดให้ $\theta$ เป็นค่าคงที่ในช่วง $(0,\pi)$ ที่ทำให้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=2\cos{\theta}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{x^n+\frac{1}{x^n}}$ ในรูปของ $n$ และ $\theta$ เมื่อ $n \in \mathbb{I}^+$ พิสูจน์ไม่ยากว่า $x = e^{\pm j\theta}$ เมื่อ $j = \sqrt{-1}$ ดังนั้น $x^n + \frac{1}{x^n} = e^{\pm j\theta}+e^{\mp j\theta} = 2\cos{(n\theta)}$ |
ข้อ 21 จัดรูปสมการเล็กน้อยจะได้
$(x-4)^2(x+4)=y+4$ $(y-4)^2(y+4)=z+4$ $(z-4)^2(z+4)=x+4$ จับคูณหมดเลยจะได้ $(x+4)(y+4)(z+4)(x-4)^2(y-4)^2(z-4)^2 = (x+4)(y+4)(z+4)$ ดังนั้น $(x+4)(y+4)(z+4)=0$หรือ $(x-4)(y-4)(z-4)=1 $หรือ $(x-4)(y-4)(z-4)=-1$ กรณีที่ 1 : $(x+4)(y+4)(z+4)=0$ สมมติว่า$ x=-4$ เมื่อนำกลับไปเเทนในสมการ จะได้ว่า$ x=y=z=-4$ เท่านี้น ($y $กับ $z$ เช่นกัน) กรณีที่ 2 :$ (x-4)(y-4)(z-4)=1$ จะได้ว่า$( x-4=1 เเละ y-4=1 เเละ z-4=1)$ หรือ$(มี 1 คู่ที่เป็น -1)$ ซึ่งเเบบหลังเป็นไปไม่ได้ (ลองไปเเทนดูนะครับ) ทำให้ $x=y=z=5$ กรณีที่ 3 : $(x-4)(y-4)(z-4)=-1$ จะได้ว่า$( x-4=-1 เเละ y-4=-1 เเละ z-4=-1)$ หรือ $(มี 1 คู่ที่เป็น 1)$ ซึ่งเเบบหลังเป็นไปไม่ได้ (ลองไปเเทนดูนะครับ เหมือนกัน) ทำให้ $x=y=z=3$ สรุปได้ว่า คำตอบ$ (x,y,z)$ ที่เป็นไปได้คือ $(-4,-4,-4) , (5,5,5) , (3,3,3)$ |
23.
จาก $(sinx + sin2x+sin3x)^2 = (2sin2xcosx + sin2x)^2 = sin^2 2x(2cosx+1)^2$ $(cosx+cos2x+cos3x)^2 = (2cos2xcosx+cos2x)^2 = cos^2 2x(2cosx+1)^2$ จะได้ $(sin^2 2x + cos^2 2x)(2cosx+1)^2 = 1$ $(2cosx+1)^2 = 1$ $2cosx+1 = 1$ หรือ$ 2cosx+1=-1$ $cosx=0 $หรือ$ cosx=-1$ $x = n\pi + \frac{\pi}{2} , 2n\pi + \pi$ โดย $n$ เป็นจำนวนเต็ม |
ข้อ 24. นี่ไปไม่เป็นจริงๆครับ T T
|
#32 คุ้น ๆ ว่า ต้องฝัน ช่วงขึ้นมา
แต่ถ้าไม่ัฝันต้องใช้ integrate อ่ะครับ จำได้ว่า พี่ gon เคย โพสต์ไว้ในไหนสักที่นี่แหละ |
โอเคครับ ได้แล้วครับ :wacko:
26. กำหนดให้ $p\in \mathbb{R}$ จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}= x$ 27. ถ้าผลคูณของรากสองค่าจากทั้งสี่ค่าของสมการ $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984 = 0$ มีค่าเท่ากับ $-32$ จงหาค่า $k$ 28. จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}}$ 29. กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \sqrt{9+\sqrt{a_{n-1}}}, a_1 = 9}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$ 30. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}+\sqrt{3}\big(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}\big) = 2x}$ เมื่อ $x\geq 0$ ดูที่พจน์ที่สอง $\sqrt{2-x}$ ---> $x\le2$ $\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ ---> $\sqrt{2+x}\le2$---> $x\le2$ $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}$ ---> $\sqrt{2+\sqrt{2+x}}\le2$ กำหนดให้ $x = 2\cos{\theta}$ และใช้สูตรตรีโกณที่ว่า $\displaystyle{\sqrt{2+2\cos{\theta}} = 2\cos{\frac{\theta}{2}}}$ และ $\displaystyle{\sqrt{2-2\cos{\theta}} = 2\sin{\frac{\theta}{2}}}$ จะได้ $\displaystyle{\frac{1}{2}\cos{\frac{\theta}{8}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\frac{\theta}{8}} = \cos{\theta}}$ $\displaystyle{\cos{(\frac{\theta}{8}-\frac{\pi}{3})} = \cos{\theta}}$ $\displaystyle{\theta = \frac{3\pi}{8}}$ $\displaystyle{x = \cos{\frac{3\pi}{8}}}$ |
อ้างอิง:
27. ผมได้เลขไม่สวยเลยครับ ไม่รู้ว่าคิดผิดหรือป่าว 555+ 28.ผมได้ว่า $=2^{10}-1$ ครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ปัญหาคือ จะมอง trick นี้ออกยังไงมากกว่า |
อ้างอิง:
$\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}} = k $ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+...}{ \frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}} = k+1 $ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+...}{ \frac{1}{2^{10}}(\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+...)}} = k+1 $ $2^{10} =k+1 $ ดังนั้น $k= 2^{10}-1 = 1023 $ |
26. IMO 1963 ข้อ 1 ครับ
29. โจทย์สมมูลกับการหาค่าของ $\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+...}}}$ เอามาลงเยอะๆเลยครับ :great: |
ผมไม่เข้าใจว่า โจทย์ข้อ 29. มันสมมูล กับ $\displaystyle{\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+...}}}}$ ได้ยังไง
ผมคิดว่า ถ้าจะให้มันสมมูล โจทย์มันต้องเป็น $\displaystyle{a_n = \sqrt{9+a_{n-1}}}$ โดยที่ $a_1 = \sqrt{9}$ รึเปล่า |
ขอโทษในความสะเพร่าไม่ยอมลองแทนดูของนะครับ :please:
มันได้ว่า $a_{n}=\sqrt{9+\sqrt[4]{9+\sqrt[4]{9+\sqrt[4]{9+...}}}}$ โดยที่ $n$ ระบุถึงจำนวนเลข 9 ที่ปรากฏ จะได้สมการ $x=\sqrt{9+\sqrt{x}}$ ได้ว่า $x^2=9+\sqrt{x} \geq 9$ จะได้ $x \geq 3$ สมการข้างบนยกกำลังสองอีกครั้ง ได้สมการ $x^4-18x^2-x+81=0$ เพราะว่า $\frac{11663}{144}=80.99$ ดังนั้นสมการกำลังสี่นี้มีคำตอบใกล้เคียงกับสมการ $x^4-18x^2-x+\frac{11663}{144}=0$ หรือ $(x^2+6x+\frac{109}{12})(x^2-6x+\frac{107}{12})=0$ วงเล็บแรกไม่มีคำตอบ ดังนั้นวงเล็บหลังต้องเท่ากับศูนย์ ก็จะได้ว่า $x$ มีค่าเท่ากับ $3+\frac{\sqrt{3}}{6}$ หรือ $3-\frac{\sqrt{3}}{6}$ แต่ $x \geq 3$ ต้องได้ว่า $x=3+\frac{\sqrt{3}}{6}$ ดังนั้นข้อนี้ตอบ 3.28 ครับ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:15 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha