".999..... เท่ากับหนึ่ง"
 

เห็นด้วยครับว่า "กรอบความคิด" คือสิ่งที่คนเถียงกันในเรื่องนี้

Mathematics is the study of topics such as quantity (numbers),[2] structure,[3] space,[2] and change.[4][5][6]
There is a range of views among mathematicians and philosophers as to the exact scope
and definition of mathematics.[7][8]

Mathematicians seek out patterns[9][10] and use them to formulate new conjectures. Mathematicians resolve
the truth or falsity of conjectures by mathematical proof.

When mathematical structures are good models of real phenomena, then mathematical reasoning
can provide insight or predictions about nature.

Through the use of abstraction and logic, mathematics developed from counting, calculation, measurement,
and the systematic study of the shapes and motions of physical objects. Practical mathematics has been
a human activity for as far back as written records exist.
The research required to solve mathematical problems can take years or even centuries of sustained inquiry.

Mathematicians also engage in pure mathematics, or mathematics for its own sake, without having any application in mind.
There is no clear line separating pure and applied mathematics, and practical applications
for what began as pure mathematics are often discovered.[18]

เท่าแน่ครับ เพราะ

$0.999...=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{100}+\dfrac{9}{1000}+...=\dfrac{\dfrac{9}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}=1$

ท่านสอนนักเรียนมัธยมปลายอย่างนี้จริงๆรึ :eek:

คุณshare เอากลอนมาจากที่ไหนหรือว่าคิดเองครับ. ถ้าคิดเองก็สุดยอดไปเลยครับ

ตกลงว่าใช่หรือไม่ใช่

ไม่สนใจเรื่องบรรยากาศในห้องเรียนครับ

ถ้าในการสอบครั้งหนึ่ง มีนักเรียนมัธยมปลาย 6 คน ส่งคำตอบแบบนี้ แต่ละคนควรจะได้คะแนนเท่าไร ขอเหตุผลด้วยครับ :rolleyes:
คนที่ 1: $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
คนที่ 2: $x^2 - 1 = (x + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} - 1)$
คนที่ 3: $x^2 - 1 = (x + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)$
คนที่ 4: $x^2 - 1 = (x + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} - 1)$
คนที่ 5: $x^2 - 1 = (x + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} - 1)$
คนที่ 6: $x^2 - 1 = (x + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{32}} + 1)(x^{\frac{1}{64}} + 1) \cdots$

ถ้า ม. ต้น แล้วตอบ $x^2-1=(x+1)(x^{\frac{1}{2}}+1)(x^{\frac{1}{2}}-1)$
เต็ม 10 จะได้ 15 มั้ยครับ

ขอบคุณครับเพื่อน ๆ
ตอบคุณ TOP และ polsk133

"นักเรียนมัธยมปลาย 6 คน ส่งคำตอบแบบนี้ แต่ละคนควรจะได้คะแนนเท่าไร ขอเหตุผลด้วยครับ"
คนที่ 1 ให้ 5 (เต็ม 10)
นร.มัธยมต้น
มี"กรอบความคิด" เพียง เลขจำนวนตักยะ
นร.มัธยมปลาย เรียนรู้มากขึ้น
มี"กรอบความคิด" เลขจำนวนจริง
เขาใช้ศักยะไม่เต็มที่
แบบจบ ป.ตรี ทำงานเหมือน ม.6 คงต้องให้พิจารณาแล้ว

คนที่เหลือ ให้ 10 (เต็ม 10) ครับ เหตุผล

@ เมื่อพินิจ พิเคราะห์ ลึกลงเรื่อง
ถกต่อเนื่อง ประจักษ์ชัด จึ่งจัดแถลง
"ค่าประมาณ" ค่าใกล้ใกล้ ใช้แสดง
หาก"สมบูรณ์" คงแกล้ง ให้ลำเค็ญ

@ ในชีวิต ประจำวัน อันปกติ
ค่าประมาณ นั่นสิ ที่พบเห็น
"น้ำเต็มแก้ว" ค่า"เต็ม" ตามประเด็น
ใช่จำเป็น "เท่ากัน" ทุกแก้วไป

@ .999 99... "เก้า"ร้อยตัว
คงไม่มัว วัดจริง แก้สงสัย
เทียบ .99... "เก้าสิบ"ตัว ต่างเท่าใด
คนพอใจ "ค่าประมาณ" นั้นเรื่องจริง

การแนะสอน หวังให้มีใจกระจ่าง เปิดใจกว้าง รับฟังผู้อื่น
คะแนนเต็ม คือ "เต็ม" เราให้เกินกว่านั้นไม่ได้ในรูป "คะแนน"
แต่เราก็ให้ได้ใน "ความชื่นชม" ที่เขาสามารถครับ

....เพื่อนแท้ สิมิ่งมิตร........แนะ-ช่วย-คิด ลุทางธรรม
ปลดกรอบ กิเลสงำ...........มิโน้มนำ อโคจร
....สิ่งดี ณ แห่งใด...........เสาะสืบให้ มิถอยถอน
ตกต่ำ บ่แคลนคลอน..........อุราร้อน ก็แบ่งเบา

แย้งไม่ดูรุ่นเลย :laugh:

คุณ Amankris โผล่มาทักแบบนั้น น่าจะฉุกใจได้แล้วนะครับ :cool:

ขอโทษด้วยครับ ไม่ได้ตั้งใจจะว่านะครับ

ผมแค่อยากให้คุณลอง "ฉุกใจ" ดูก่อนบ้างน่ะครับ :great:.

คำว่า "รุ่น" ในที่นี้ไม่ใช่อายุหรือความเป็นอาวุโสครับ

ผมคงเข้าใจถูกนะ :rolleyes:

หากนักเรียนคนที่ 3-6 ออกมาทักท้วงว่าการให้คะแนนแบบนี้ไม่ยุติธรรม เขาควรได้คะแนนมากกว่านักเรียนคนที่ 2 ละครับ เพราะว่า

คนที่ 3: คำตอบของผมสมบูรณ์มากกว่าคนที่ 1-2 จึงต้องได้คะแนนมากกว่าคนที่ 1-2 จะได้คะแนน 10 เท่ากันกับคนที่ 2 ได้อย่างไร
คนที่ 4: คำตอบของผมสมบูรณ์มากกว่าคนที่ 1-3 จึงต้องได้คะแนนมากกว่าคนที่ 1-3 จะได้คะแนน 10 เท่ากันกับคนที่ 2-3 ได้อย่างไร
คนที่ 5: คำตอบของผมสมบูรณ์มากกว่าคนที่ 1-4 จึงต้องได้คะแนนมากกว่าคนที่ 1-4 จะได้คะแนน 10 เท่ากันกับคนที่ 2-4 ได้อย่างไร
คนที่ 6: คำตอบของผมสมบูรณ์มากกว่าคนที่ 1-5 จึงต้องได้คะแนนมากกว่าคนที่ 1-5 จะได้คะแนน 10 เท่ากันกับคนที่ 2-5 ได้อย่างไร คนที่ 1-5 คิดอะไรครึ่งๆกลางๆ ทำไปไม่สุดติ่งกระดิ่งแมว ใช้ศักยะไม่เต็มที่ ไม่มีเหตุลผลอะไรที่จะต้องหยุดการแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเทอมเพียงเท่านั้นในเมื่อมันยังแยกตัวประกอบต่อไปได้เรื่อยๆ คะแนนที่ได้จึงควรคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ ของจำนวนตัวประกอบทั้งหมดที่สามารถแยกได้ ทำน้อยได้น้อย ทำมากได้มาก ใช่หรือไม่ ใช้หลักการนี้ คนที่ 1-5 ควรจะได้ 0 คะแนน ส่วนผม(คนที่ 6) เป็นคนเดียวที่สมควรได้ 10 คะแนน

$$x^2-1=(x^{\frac{1}{2}}+i)(x^{\frac{1}{2}}-i)(x-1)$$

เรียนคุณ TOP

A รับสมัครงาน ป.ตรี ด้วยเงินเดือน 15000 บาท
สิ้นเดือน จ่ายเงินเดือนทุกคน 15000

ก บอกว่า ทำงานดีกว่า ข ค ง ต้องได้ 18000
ข บอกว่า ทำงานดีกว่า ค ง ต้องได้ 17000

A จึงตอบว่า
"เราตกลงกันเงินเดือน 15000 บาท ไม่ใช่หรือ
ผมผิดสัญญาหรือ
ผมเป็นผู้ว่าจ้าง
ใครทำงานดี/ไม่ดี ใครกันควรมีสิทธิ์ตัดสิน"


หากไม่รบกวนเกินไป
ขอความกรุณากลับไปอ่านที่ผมชี้แจง
หวังว่าจะเข้าใจเจตนาที่จะสื่อ

ขอบคุณที่แบ่งปันครับ

ถ้าอย่างนั้น ทำไมคนที่ 1 จึงได้เพียง 5 คะแนน คำตอบของเขาไม่ถูกต้องอย่างไร แตกต่างจากคนอื่นตรงไหน ทำไมจึงไม่ได้ 10 คะแนนเหมือนคนอื่น โปรดชี้แจง
หากจะบอกว่าเกี่ยวกับ "กรอบความคิด" เป็นเพียงเลขจำนวนตรรกยะ หรือเป็นเลขจำนวนจริง มันเป็นอย่างไร มีวิธีการหาอย่างไร จงยกตัวอย่าง
และทำไมคำตอบของคนที่ 1 จึงติดอยู่ในกรอบของเลขจำนวนตรรกยะเท่านั้น จะได้เข้าใจตรงกัน :)

ก็ยังไม่ได้รับคำชี้แจง ว่าทำไมคำตอบของคนที่ 1 ถึงติดอยู่แค่จำนวนตรรกยะ ไม่ไปถึงจำนวนจริงสักที พิจารณาจากอะไร อย่างไรครับ โปรดชี้แจง

คืออย่างนี้ครับ ที่คุณ share บอกว่า คนที่ 1 วิเคราะห์โจทย์ได้แค่ ระดับ ม.ต้น แล้วให้คะแนนเขาเพียง 5 คะแนนเท่านั้น ทำไมจึงวิเคราะห์เช่นนั้น ช่วยขยายความและยกตัวอย่างให้ชัดเจนหน่อยครับ

ในมุมมองของผมนะครับ :rolleyes:

หากมองคำตอบของทั้ง 6 คนให้ดีจะพบว่า ความแตกต่างเกิดจากการแยกตัวประกอบของเทอม $x - 1$ เท่านั้น
หากเราเปลี่ยนโจทย์เล็กน้อยเป็น จงแยกตัวประกอบของ $x - 1$ ก็จะได้คำตอบของทั้ง 6 คนดังนี้
คนที่ 1: $x - 1 = x - 1$
คนที่ 2: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} - 1)$
คนที่ 3: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)$
คนที่ 4: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} - 1)$
คนที่ 5: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} - 1)$
คนที่ 6: $x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{32}} + 1)(x^{\frac{1}{64}} + 1) \cdots$

คำถาม: เรายังต้องแยกตัวประกอบเทอม $x - 1$ ต่อไปอีกรึเปล่า ?

การที่คำตอบของคนที่ 1 ไม่แยกตัวประกอบต่อ แล้วคุณ share สรุปว่า เขาวิเคราะห์โจทย์ได้แค่ ระดับ ม.ต้น จึงให้คะแนนไปเพียง 5 คะแนน ทำให้ผมเกิดความสงสัยว่า ทำไมจึงวิเคราะห์เช่นนั้น มันเกี่ยวข้องกับสิ่งที่คุณ share อ้างอิงเสมอว่า "ระดับ ม.ต้น เรียนจำนวนตรรกยะ, ระดับ ม.ปลาย เรียนจำนวนจริง" อย่างไร อยากให้อธิบายเพิ่มเติม

ผมไม่แน่ใจว่า คุณ share ต้องการประเมินอะไรจากปัญหาข้อนี้ จึงอยากถามให้ชัดเจน
อยากให้นักเรียนแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการหาคำตอบแบบที่พวกเราเข้าใจกันรึเปล่า

หากเป็นการแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการ ผมคิดว่าคำตอบของคนที่ 1 ครบถ้วนแล้ว เพราะ

1. สมการพหุนามกำลังสอง มีคำตอบไม่เกิน 2 คำตอบ
2. คำตอบทั้งสองของสมการ $x^2 - 1 = 0$ คือ -1, 1 ซึ่งการแยกตัวประกอบของคนที่ 1 ให้คำตอบครบถ้วนแล้ว

หากต้องการยกตัวอย่างเรื่องการแก้สมการพหุนาม ผมจะยกตัวอย่างอีกแบบหนึ่งคือ

จงหา $x$ ทั้งหมด ที่ทำให้สมการ $x^3 - 1 = 0$ เป็นจริง

นาย A ทำ
\(\begin{array}{rcl}
x^3 - 1 & = & 0\\
x^3 & = & 1\\
x & = & 1
\end{array}\)

นาย B ทำ
\(\begin{array}{rcl}
x^3 - 1 & = & 0\\
(x - 1)(x^2 + x + 1) & = & 0\\
(x - 1)\left(x - \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}\right)\left(x - \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2}\right) & = & 0\\
x & = & 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}
\end{array}\)

จากวิธีทำของ นาย A และนาย B แสดงให้เห็นว่า
นาย A ไม่ได้ใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาแก้สมการเลย ใช้วิธีง่ายๆแต่ให้คำตอบไม่ครบถ้วน
นาย B ใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาแก้สมการ และได้คำตอบครบถ้วน

อ้า ชัดเจนขึ้นครับ

๑) สังเกต ผมยกโจทย์ ให้แยก factor ครับ #9
ไม่ได้ให้แก้สมการ
๒) ถ้าโจทย์เป็น
จงแยก factor ของ X - 1 (ผู้ตอบระดับ ม.ปลาย)

ผมก็ยังคงให้คะแนนแบบ #18 ครับ

คำถาม: เรายังต้องแยกตัวประกอบ ต่อไปอีกรึเปล่า ?
ตอบ: ไม่จำเป็นครับ ด้วยโจทย์ ไม่ได้ระบุอะไรพิเศษ
คะแนนก็ยังแบบ #18 ครับ

หากโจทย์ระบุ "จงให้เหตุผล วิธีทำด้วย"
เช่นนี้ คะแนนก็อาจจะไม่เท่ากันได้

"อยากให้นักเรียนแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการหาคำตอบแบบที่พวกเราเข้าใจกันรึเปล่า"
ตอบแล้ว แค่ให้แยก factor ครับ

ขอบคุณสำหรับ สมการ X^3 - 1 = 0
ตอนแนะสอน ระดับมหาฯ
เคยนำถกให้แก้สมการ X^3 = 8 ครับ
ใครทำแบบ A ผมให้ 1 ถึง 3 แล้วแต่สาขาที่เรียน

อืม ไม่แน่ใจว่า ตอบชัด ครบไหมครับ
พูดคุยมีสาระ ชอบครับ ขอบคุณ

อ๋อ "คุณ share ต้องการประเมินอะไรจากปัญหาข้อนี้"
ผมไปแนะสอน เพื่อเปิดมุมมองว่า โลกไม่ได้มีแค่สาขาวิชาเดียว
เมื่อเราทำงาน ปัจจัยที่ต้องคำนึง หลากหลาย

ตอนเป็นที่ปรึกษา รง.ไส้กรอก เจ้าของเขาตำหนิพวกจบ ป.โท อาหาร ว่า
นี่คุณ ไม่ใช่แค่ มีรูป กลิ่น รสไส้กรอก มันต้องชวนซื้อด้วย

ขอบคุณที่ใส่ใจ "ละเอียด"
มาเขียนในที่นี้
หวังเพียงให้ พวกเรามอง โลกลึก และกว้าง ครับ
หากใครว่าง ลองไปดู http://pantip.com/topic/33813041

ช่วยอธิบายเพิ่มเติมครับ อ่านแล้วไม่เข้าใจ
คำตอบของคนที่ 2-6 ต่างจากคำตอบของคนที่ 1 ตรงการแยกตัวประกอบเทอม $x - 1$ ออกไปเท่านั้นเอง
หากคุณ share บอกว่าไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบต่อไปอีก แล้วเหตุใดคะแนนที่ได้ยังเป็นแบบเดิมครับ :confused:

คนที่ 1: $x^2 - 1 = \bbox[green]{(x + 1)}\bbox[yellow]{(x - 1)}$
คนที่ 2: $x^2 - 1 = \bbox[green]{(x + 1)}\bbox[yellow]{(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} - 1)}$
คนที่ 3: $x^2 - 1 = \bbox[green]{(x + 1)}\bbox[yellow]{(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)}$
คนที่ 4: $x^2 - 1 = \bbox[green]{(x + 1)}\bbox[yellow]{(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} - 1)}$
คนที่ 5: $x^2 - 1 = \bbox[green]{(x + 1)}\bbox[yellow]{(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} - 1)}$
คนที่ 6: $x^2 - 1 = \bbox[green]{(x + 1)}\bbox[yellow]{(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{8}} + 1)(x^{\frac{1}{16}} + 1)(x^{\frac{1}{32}} + 1)(x^{\frac{1}{64}} + 1) \cdots}$

ผมสงสัยการให้คะแนนคนที่ 1 ครับ คำตอบของเขาไม่ตอบโจทย์อย่างไร ช่วยอธิบายอย่างละเอียดด้วยครับ :)

ผมได้บอกแล้วว่า
เรื่องนี้ ไม่ได้เป็นการเรียนสอนปกติ
ดู #11 #15

เป็น "การแนะสอน"
ผู้เข้าฟังทราบจุดประสงค์ ประเด็นที่จะพูดคุยกันครับ
คือ มองปัญหาต่าง ๆ อย่าง "ใกล้ไกล ลุ่มลึก"

กลับมาประเด็นเรา
"ผมสงสัยการให้คะแนนคนที่ 1 ครับ คำตอบของเขาไม่ตอบโจทย์อย่างไร"

โจทย์นี้ ณ ขณะนั้น ไม่ได้มุ่งผลการ "แยกตัวประกอบ"
แต่มุ่งว่า เมื่อได้รับมอบงานใด ๆ มาให้ทำ ควรต้องคำนึง
"แก่นเรื่อง บุคคล กาล และ สถานที่"

อย่าง รง.ไส้กรอก
ผู้ว่าจ้าง ไม่ประสงค์ให้ จบป.โท ไปนั่งผสมไส้กรอก (ระดับอื่นเขาทำได้)
แต่จ้างเพื่อไป ตรวจตรา แก้ปัญหาที่อาจเกิด

โจทย์แยกตัวประกอบ ต้องการให้ผู้ร่วมถก เห็นประเด็น
"แก่นเรื่อง บุคคล กาล และ สถานที่" ครับ

ถ้า คนนที่1 เห็นแค่ "พื้น ๆ" ทั้งที่ เขาสามารถมากกว่านั้น
ย่อมไม่สมควร คะแนนจึงตามนั้น (ไม่ให้ต่ำกว่าครึ่ง เพราะ "ไม่ผิด")ครับ

สรุปว่า คำตอบของคนที่ 1 ตอบโจทย์แล้วถูกไหมครับ

หากผมถามแบบเดียวกับคุณ share ในความเห็นที่ 9 คือให้แยกตัวประกอบของ $x^2 - 1$
คุณ share เข้าใจว่า แก่นเรื่อง บุคคล กาล และ สถานที่ ที่ผมถามถึงคือที่ไหนครับ ทำไมจึงคิดเช่นนั้น :confused:

เขาตอบโจทย์

แต่ไม่พอกับ "ศักยะภาพ" ของเขา ณ "สถานที่/ตำแหน่ง" ที่มีอยู่ ณ ขณะนั้น ครับ


555 ขออนุญาตถาม

คุณ TOP ไม่สนใจคุยในหัวข้ออื่นกับผมบ้างหรือ เช่น

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22365 06 เมษายน 2015

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=19089 24 เมษายน 2013

4. วิชาเชิงปริมาณ เรียนอินทิเกรตทำไม ใช้อะไรในชีวิตจริง บางตัวในคณิตแคลคูลัสระดับสูงไม่มีประโยชน์ในการใช้ประกอบอาชีพการงาน
และจัดเป็นการยากที่จะเข้าใจเนื่องจากไม่รู้จะเรียนเพื่อ? http://pantip.com/topic/33813041

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=21589

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22139

คุณ share

คณิตศาสตร์กับความรู้สึกส่วนตัว

มันเป็นคนละเรื่องกันนะครับ