Number Theory Marathon
 

แนวคิดนี้ได้มาจาก Mathlinks ครับ ก็คือคนแรกจะตั้งคำถาม แล้วให้คนที่ตอบได้โพสเฉลยลงไปแล้วตั้งคำถามข้อต่อไป แนวคำถามอยู่ในระดับ Pre-Olympiad ครับ
1.หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ \(x^2-x+2xy+y^2-y=n^2\)

จัดรูปสมการด้านบนใหม่จะได้ \((x+y)^2-(x+y)=n^2\) ซึ่งสมมูลกับ \([2(x+y)-1]^2=4n^2+1\) ซึ่งจะได้ว่า \(\underbrace{[2(x+y)+2n-1]}_{=A}\underbrace{[2(x+y]-2n-1]}_{=B}=1\)
กรณีที่ A=1 และ B=-1 หรือกลับกัน จะได้ 4n=ฑ2 ซึ่งทำให้ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ A=1 และ B=1 (หรือทั้ง A และ B เป็นลบ) จะได้ n=0 ซึ่งทำให้ x+y=1 หรือ 0 ซึ่งไม่มีคู่อันดับใดในสองสมการนี้ที่ทั้ง x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น สมการที่กำหนดให้ด้านบนไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

เฉลยเสร็จแล้ว ก็เสนอข้อต่อไป ไม่ยากมากสองข้อย่อย...
2.1 จงหาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ \(n^4+6n^3+4n^2-8n+21\) เป็นจำนวนเฉพาะ
2.2 จงแยกตัวประกอบของ \(n^5+n^4+1\)

2.1 n⁴+6n³+4n²-8n+21= (n+3)(n³+3n²-5n+7) ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่ามากกว่า 1 เสมอ จะได้ n⁴+6n³+4n²-8n+21 เป็นจำนวนประกอบเสมอ
2.2 n⁵+n⁴+1=(n⁵+n⁴+n³)-(n³-1) = n³(n²+n+1)-(n-1)(n²+n+1) = (n³-n+1)(n²+n+1)
ถามต่อครับ
3.จงหาจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ m!+48=48(m+1)ⁿ

หารด้วย 48 ทั้งสองข้าง จะได้สมการใหม่เป็น \(\frac{m!}{48}=(m+1)^n-1\)
เนื่องจาก \(\frac{m!}{48}\) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น \(m\geq 6\)
เนื่องจากเมื่อ \(m\geq 6\) แล้ว \(m+1|m!\) เสมอ
ดังนั้นสมการข้างต้นไม่มีคำตอบ

ข้อ 4. ให้ \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะและ \(x,y\) เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\]

ตัวอย่างค้าน: เมื่อ m=10 จะได้ว่า 11 หาร 10! ไม่ลงตัว

ว่าแล้วก็ตอบข้อนี้ต่อ จัดรูปใหม่จะได้ p(x+y)=xy เนื่องจาก p เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า p|x หรือ p|y
โดยไม่เสียนัยให้ p|y ดังนั้นจะได้ y=kp (k เป็นจำนวนเต็มบวก)
แทนกลับเข้าไปในสมการ จัดรูปแล้วหารตลอดด้วย p จะได้ kp=(k-1)x หรือ x=pk/(k-1) ซึ่ง x จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ
i) k/(k-1) เป็นจำนวนเต็มบวก กรณีนี้มี k=2 ตัวเดียว ดังนั้นจะได้ (x,y)=(2p,2p)เป็นคำตอบ
ii) (k-1)|p อันหมายถึง 1=k-1 หรือ p=k-1 นั่นคือ k=2 (ตรงกับกรณีแรก) หรือ k=p+1 ซึ่งจะได้คำตอบเป็น (x,y)=(p+1,p(p+1))
ในทำนองเดียวกันจะได้ (x,y)=(p(p+1),p+1) เป็นคำตอบด้วย ###

ข้อต่อไป...
5. จงหาจำนวนนับ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ \(3^n+1=m^3\)

ขอเริ่มจากความเห็นเกี่ยวกับข้อ 4. ก่อนนะครับ ผมว่าข้อนี้น่าจะทำได้ง่ายขึ้นมากถ้าสังเกตเห็นว่า\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\quad\Rightarrow
\quad xy-px-py=0\quad\Rightarrow\quad(x-p)(y-p)=p^2\]ต่อด้วยข้อ 5. ครับ จะเห็นว่า m ต้องเป็นเลขคู่ เราจึงได้ว่า 8 | 3ⁿ + 1
ถ้า n เป็นเลขคู่แล้ว 3ⁿ บ 1 (mod 8)
ถ้า n เป็นเลขคี่แล้ว 3ⁿ บ 3 (mod 8)
แสดงว่าไม่มีจำนวนนับ n ที่ทำให้ 8 หาร 3ⁿ + 1 ได้ลงตัว นั่นคือสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ

ผมไม่มีโจทย์ใหม่ให้นะครับ เพราะโจทย์ข้อ 3 ของคุณ Char Aznable ยังไม่มีใครเฉลยเลย ก็ขอให้คิดว่าโจทย์อันที่เหลือนี้เป็นโจทย์ข้อต่อไปละกัน

- จากข้อสังเกต mณ6 (ของคุณ gools) และเมื่อ m=6,7 นั่นคือ เมื่อ m!/48 เป็นเลขคี่ จะได้ 15=6ⁿ-1, 105=7ⁿ-1 ซึ่งไม่มีจำนวนเต็ม n ที่สอดคล้อง
- m!/48 เป็นเลขคู่ก็ต่อเมื่อ (m+1)ⁿ เป็นเลขคี่ นั่นคือ m>7 เป็นเลขคู่
จาก (1) เราจะได้ \(m!+48\equiv{}m!+(m-1)!\equiv0\ mod\ (m+1)\)
หรือ \((m+1)|[(m-1)!-48]\)...(2) สำหรับทุก m>7 ซึ่งไม่เป็นจริงเมื่อ m=8,10,... C!
ดังนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม###

หมายเหตุ: (2) เป็นจริงสำหรับ n บางตัว เช่น n=5,7 (ซึ่งถูกคัดออกตั้งแต่แรกแล้ว) หากใครมีข้อเสนอแนะอย่างไรก็บอกกันได้ครับ

ุ6. จงหาจำนวนเฉพาะบวก p,q ทั้งหมดที่ทำให้ \(3p+4=q^2\)

ไม่เข้าใจครับว่า C! คืออะไร อีกอย่างคือ ถ้า m = 46 แล้ว m + 1 หาร (m - 1)! - 48 ลงตัวครับ เนื่องจาก (q - 2)(q + 2) = 3p จึงมีเพียง (p, q) = (7, 5) เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

ขอโทษด้วยครับที่เขียนแบบทดไปหน่อย
- C! คือ contradiction ครับ ในที่นี้จงใจจะใช้ว่าเป็นข้อขัดแย้งกับข้อความที่ว่าเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มคู่ที่มากกว่าหรือเท่ากับแปด (ซึ่งดูหลวมไปนิด) แต่น่าจะใช้ได้ เพราะสมการ (2) ได้มาจาก (1) โดยตรง เลยลองโพสต์มาก่อน อีกอย่างลืมลบสามจุดท้าย 8,10,...
- ไม่แน่ใจครับว่าคุณ warut เช็คการหารลงตัวโดยใช้ wilson's theorem หรือไม่ หากใช่ผมว่ามันน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่า: 47|((47-1)!+1) (แต่ที่ยกมาก็ไม่ผิดนะครับ)หากใม่ใช่ ผมสนใจครับว่าคุณ warut เช็คการหารลงตัวอย่างไร และจะหา m ที่เหลือที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้อย่างไร

ป.ล. ยังไงหากยังไม่เคลียร์จะมาแก้อีกทีครับ มารู้อีกทีหลังโพสต์ว่าโจทย์ข้อหกง่ายเกินไป ไว้มีโอกาสครั้งหน้าจะหาข้อที่ยากกว่านี้มาแก้ตัว ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบก่อน :D

คือมันเริ่มจากที่ผมพยายามทำความเข้าใจกับการพิสูจน์ของคุณ nongtum ที่บอกว่า\[(m+1)\not|\,\,(m-1)!-48,
\quad m=8,10,\dots\]คิดๆเท่าไรก็ไม่ออกซักที เลยชักสงสัยว่ามันจะจริงรึเปล่า โดยเริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดก่อนคือ m + 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็มาเจอตัวอย่างค้านอันนั้นแหละครับ

ใช่ครับ...ผมเช็คการหารลงตัวโดยใช้ Wilson's Theorem แต่ไม่ได้ใช้ตรงๆ ผมทำแบบนี้ครับ

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ เรารู้ว่า (p - 1)! บ -1 (mod p)
แต่ (p - 1)! = (p - 1)(p - 2)! = p(p - 2)! - (p - 2)! บ -(p - 2)! (mod p)
ดังนั้น (p - 2)! บ 1 (mod p)
เราจึงได้ว่า 47 หาร 45! - 48 = (45! - 1) - 47 ลงตัวครับ

จะเห็นว่าผมไม่ได้ใช้สิทธิ์ในการตั้งโจทย์มาสองครั้งแล้ว เป็นเพราะว่าผมอยากให้ช่วยกันทำข้อนี้ก่อนน่ะครับ ไม่อยากให้ปล่อยผ่านเลยไปเฉยๆ ถ้าใครสามารถทำได้ (โดยจะทำต่อจากของคุณ nongtum หรือเริ่มใหม่เลย) ก็มาช่วยกันหน่อย หรือคุณ Char Aznable จะมาเฉลยก็เชิญเลยนะครับ

ป.ล. มีโจทย์ง่ายๆบ้างน่ะดีแล้วครับ :)

เฉลยนะครับ
จาก wilson's theorem
ถ้า m+1 prime จะได้ m!=-1 (mod m+1)
จะได้ 47 = 0 (mod m+1)
ดังนั้น m+1 = 47
ถ้า m+1 composite จะได้ m! = 0 (mod m+1)
จะได้ 48 = 0 (mod m+1)
ดังนั้น m+1 = 2,3,4,6,8,12,16,24,48
ไล่ทำทุกcase จะพบว่าไม่มีคำตอบ

กรณีที่ \(m+1=47\) คิดยังไงครับ หรือว่าใช้ความถึกอย่างเดียว :eek:

คิดว่าน่าจะเป็นแบบนี้ครับ
\(\underbrace{(m!+1)}_{\equiv0 (Wilson)}+47\equiv47\ \equiv0\ (mod\ m+1)\)
เนื่องจาก m+1 prime หาร 47(จำนวนเฉพาะ)ลงตัว จะเหลือกรณีเดียวคือ m+1=47 ส่วนที่เหลือไม่ยากครับ

ป.ล. คุณ Char Aznable มาใช้สิทธิ์ตั้งโจทย์ข้อใหม่ด้วยครับ

กรณี m+1 = 47 ใช้ 47² หารฝั่งซ้ายไม่ลงตัวครับ

ผมขอต่อเลยแล้วกันนะครับ
7. จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับทุก \(a_n = 2^n+3^n+6^n-1\) เมื่อ \( n\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(n \geq 1 \)

นี่มัน IMO 2005 ข้อ 4 นี่นา

ถ้า \(p\ge5\) เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า \(p\mid2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1\) เพราะ p หาร
\[6\cdot(2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1)=3\cdot2^{p-1}+2\cdot3^{p-1}+6^{p-1}-6\]ลงตัว (โดย Fermat's Little Theorem) และเนื่องจาก 6 หาร \(a_2=48\) ลงตัว ดังนั้นคำตอบจึงมีเพียงตัวเดียวคือ 1

ข้อต่อไปขอเป็นโจทย์มาตรฐานละกัน

8. ให้พิสูจน์ว่า ตัวประกอบทุกตัวของจำนวนที่อยู่ในรูป \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) (n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) (k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0)

ขอตั้งโจทย์ที่ค้างไว้ก่อนนะครับโจทย์จะได้หลากหลายข้อ
9. find all integer a₁,a₂,...a_n such that a₁+...+a_n=a₁²+...+a_n²=n

สำหรับจำนวนเต็ม a_i ใดๆ \(a_i^2\ge{}a_i\) ดังนั้นจะได้ว่า \(\sum{(a_i^2-a_i)}=0\Leftrightarrow{}a_i=0,1\) เมื่อรวมกับเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า a_i=a₁=1 เท่านั้น

ไม่แน่ใจนะครับว่าข้อนี้จะมี trick อะไรแฝงอยู่ เพราะดูง่ายผิดปกติ ยังไงใครคิดได้ช่วยยืนยันหรือเสริมด้วยครับ

จริงๆแล้วข้อนี้ผมแต่งเองครับ ลืมดูว่ามีวิธีที่ง่ายกว่าที่คิดครับ
ที่ผมคิดไว้คือ จากโจทย์จะได้ n(a₁²+...+a_n²)=(a₁+...+a_n)²
ซึ่งจากเงื่อนไขของอสมการโคชีจะได้ a₁=...=a_n=1

วิธีของคุณ Char Aznable น่าสนใจดีครับ
เอาเป็นว่าผมให้เครติตคนที่ตอบคำถามข้อ 8 (ซึ่งเป็นการพิสูจน์ที่นำไปสู่ข้อสรุปว่า 641|F₅)ของคุณ Warut ได้เป็นคนตั้งคำถามข้อต่อไปละกัน คำถามจะได้ไม่ตีกันเอง

วานพี่ warut ช่วยเฉลยข้อ 8. ให้หน่อยได้มั้ยครับ :D

ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) ลงตัว
เราจึงได้ว่า \(2^{\displaystyle{2^n}}\equiv-1\pmod p\) และ \(2^{\displaystyle{2^{n+1}}}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\) จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ \(2^x\equiv1\pmod p\) เป็นจริง
จาก Fermat's Little Theorem เรารู้ว่า \(2^{p-1}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\mid p-1\) นั่นแสดงว่า p อยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\)
เนื่องจากผลคูณของจำนวนที่อยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) จะยังคงอยู่ในรูปนี้ เราจึงสรุปได้ว่าตัวประกอบทุกตัวของ \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\)

ต้องขอโทษด้วยนะครับถ้าข้อนี้ใช้ความรู้อะไรที่เกินระดับโอลิมปิกไป เพราะผมก็ไม่ค่อยรู้เรื่องเกี่ยวกับโอลิมปิกสักเท่าไหร่

ใครอยากตั้งข้อต่อไปเชิญได้เลยคร้าบ :)

10. ให้ \(a(1)=\sqrt{5}\) และ \(a(n+1)=\sqrt{5+a(n)}\) จงแสดงว่า \(a(n)<3\)
Hint: Induction

ไม่เข้าใจครับ ทำไมเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด

ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ \(2^x\equiv1\pmod p\) เป็นจริง เรารู้ว่า x จะต้องหาร 2ⁿ⁺¹ ลงตัว ดังนั้น x จึงอยู่ในรูป 2^m และเราจะได้ว่า\[2^{\displaystyle{2^m}}\equiv2^{\displaystyle{2^{m+1}}}\equiv
2^{\displaystyle{2^{m+2}}}\equiv\cdots\equiv1\pmod p\]แต่เรารู้ว่า \(2^{\displaystyle{2^n}}\equiv-1\not\equiv1\pmod p\) ดังนั้น m = n + 1 :)

ขอบคุณมากครับ :)

เพิ่มเติมนะครับ เอามาจากที่อื่น
ให้ \(a\) เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ \(m\) เราเรียกค่า \(k\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ \(a^k \equiv 1 (\text{mod}\ \ m)\) ว่า order ของ \(a\) modulo \(m\)

ข้อที่ 10 ครับ
ให้ P(n) แทนข้อความ a(n) < 3
\( \displaystyle{\begin{array}{lrlll}ขั้นฐาน&P(1)\ :\ a(1)&=&\sqrt{5} < 3\\&&&\ \ 5\ \ < 9&เห็นว่า\ \ P(1)\ เป็นจริง\\ขั้นอุปนัย&ให้\ P(k)\ เป็นจริง &นั่นคือ&\ a(k)\ <\ 3\\&&&5 + a(k) <\ 8\ \ <\ \ 9\\\therefore\ \ &a(k+1)&=&\sqrt{5+a(k)}\ <\ 3&นั่นคือ\ P(k+1)\ เป็นจริง \end{array}}\)
ดังนั้น a(n) < 3 ทุกจำนวนนับ n :D
มาช่วยตรวจด้วยนะครับ ถ้าถูกต้องจะได้ใช้สิทธิ์ถามข้อถัดไป

ถูกแล้วครับ สงสัยข้อนี้ง่ายที่สุดในสิบข้อแรกเลยละมังครับ แล้วจะรอทำข้อ 11 ครับ ;)

ต่อเลยนะครับ
11. จงหาจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ
\[a_1^4+a_2^4+...+a_{14}^4=1,599\]

Edit: ใส่เลขข้อ

ช่วยดูให้ด้วยนะครับ ไม่ค่อยแน่ใจ แล้วก็รู้สึกว่าวิธีไม่ค่อยดีด้วย

เนื่องจาก \(7^4 > 1599\) เลยรู้ว่า \(a_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) จึงแปลงโจทย์ได้เป็น

\[
A + 16B + 81C + 256D + 625E + 1296F = 1599
\]
\[
A + B + C + D + E + F = 14
\]
โดยที่ \(A, B, C, D, E, F\) เป็นจำนวนเต็มบวกหรือ 0

พอเอาอันบนลบอันล่าง ก็จะได้

\[
15B + 80C + 255D + 624E + 1295F = 1585
\]

ตอนนี้จะสรุปได้ว่า \(E = 0\) และ \(F = 0\) หรือ \(1\)

เอา \(E\) ออก แล้วหารด้วย 5 จะได้
\[
3B + 16C + 51D + 259F = 317
\]
\[
3(B + 17D) = 317 - 16C - 259F
\]

สมมติว่า \(F = 0\) ก่อน จะได้ว่า
\[
3(B + 17D) = 317 - 16C
\]
เพื่อให้ \(3 | 317 - 16C\) จะได้ว่า C ที่เป็นไปได้คือ 2, 5, 8, 11 หรือ 14 แทนแต่ละค่าลงไปในสมการ จะได้ว่า
\[
B + 17D = 95, 79, 63, 47, 31
\]
นำไปรวมกับ \(A + B + C + D = 14\) จะรู้ว่าไม่ได้คำตอบ เพราะ \(B + D \ge 15\) ทุกกรณี
(95 = (5)17 + 10, 79 = (4)17 + 11, 63 = (3)17 + 12, 47 = (2)17 + 13, 31 = (1)17 + 14)

แล้วลองพิจารณาเมื่อ \(F = 1\) บ้าง จะเห็นว่า
\[
3(B + 17D) = 58 - 16C
\]
ค่า C ที่เป็นไปได้มีเพียงค่าเดียวคือ \(C = 1\) ซึ่งเมื่อแทนลงไป จะได้ว่า
\[
B + 17D = 14
\]
ทำให้ \(B = 14\) ในขณะที่ \(C = F = 1\) ดังนั้น เมื่อรวมกับสมการ \(A + B + C + D + F = 14\) จะไม่มีคำตอบ

สรุปว่าไม่มีคำตอบครับ ... วิธีนี้ใช้แต่แรงงานอ่า อยากได้วิธีที่ดีกว่านี้อะคับ

ที่ไม่มีคนมาเล่นต่อ เป็นเพราะผมไม่ได้ตั้งคำถามรึเปล่าอะ ... คิดคำถามไม่ค่อยเป็นซะด้วย

เอาอันนี้ละกัน โจทย์ง่าย ๆ ได้จากเพื่อน

12. กำหนดฟังก์ชัน \(A(x) = 2x \ mod \ (2n + 1)\) (a mod b = เศษจากการหาร a ด้วย b ซึ่งมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง b - 1)

1. จงแสดงว่า \(A(x)\) เป็น permutation บนเซต \(\{1, 2, 3, ..., 2n\}\)
2. ให้ \(A^n(x) = A(A(A(...(x)))\) (composition \(n\) ครั้ง) จงพิสูจน์ว่า ถ้า \(A^m(1) = 1\) แล้ว \(A^m(x) = x\) สำหรับทุก \(x \in \{1, 2, 3, ..., 2n\}\)

Edit: ใส่เลขข้อ

ขอเล่นด้วยคนครับ
ก่อนอื่นผมว่าโดเมนของ A(x) เป็นเซต {0,1,...,2n} ก็ได้ ซึ่งผมขอใช้เซตนี้เป็นโดเมนของ A(x) นะครับ :D

1. นิยาม B(x) = (n+1)x (mod 2n+1)
จะได้ว่า BoA(x) = x (mod 2n+1) สำหรับ x = 0,1,...,2n
ดังนั้น A(x) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนเซต {0,1,2,...,2n}
แต่ A(x) นิยามบนเซตจำกัด จึงได้ว่า A(x) เป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย
นั่นคือ A(x) เป็น permutation

2. A^m(x) = 2^mx (mod 2n+1)
จากเงื่อนไขจะได้ว่า 2^m = 1 (mod 2n+1)
ดังนั้น A^m(x) = 2^mx = x (mod 2n+1)
:)

รอเจ้าของโจทย์มาตรวจก่อนครับ เดี๋ยวมาโพสข้อต่อไป

ถูกแล้วล่ะครับ

อ้อ แล้วที่ผมกำหนดโดเมนเป็น \(\{1, 2, 3, ..., 2n\}\) น่ะ เพราะว่าจริง ๆ มันมีโจทย์อีกข้อด้วย :P แต่ไม่ได้ถามเพราะมันเป็นโจทย์ algorithm น่ะครับ จริง ๆ A เป็น permutation บนโดเมน \(\{0, 1, 2, ..., 2n\}\) อย่างที่ว่าแหละครับ

มาแล้วครับโจทย์ของผม ไม่ยากครับ แถมแอบๆไปทางพีชคณิตมากกว่า :D

13. ให้ n เป็นจำนวนนับ และ p(x) = x² + ax + b เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็ม
จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม k ซึ่งทำให้
\[ \Large{p(n)p(n+1) = p(k)} \]

Edit: ใส่เลขข้อ

เป็นการเพียงพอที่จะแสดงว่า \(4p(n)p(n+1)+a^2-4b\) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (ซึ่งกำลังสองที่ว่ามีค่าเท่ากับ (2k+a)²)
จากรูปด้านล่าง เราจะได้ k=n²+an+n+b เป็นจำนวนเต็มที่ต้องการหา

ปล. คงไม่ต้องบอกนะครับว่าคิดยังไง เพราะข้อนี้ลองทดด้วยมือมาสองวันแล้วแยก factor ไม่ออก

เกือบลืมตั้งคำถามข้อต่อไป :D

14. จงหาจำนวนนับ k ทั้งหมดที่ทำให้ 1^k+9^k+10^k=5^k+6^k+11^k

คุณ Nongtum ความพยายามเป็นเลิศจริงๆครับ :)

โจทย์ของ nongtum ตอบว่า 2 กับ 4 ครับ

ผมคิดโดยแทนค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้น่ะครับ แล้วมันได้แค่ 2 กับ 4

วิธีหาค่าที่เป็นไปได้ 2 เซตของผม เอามา intersect กัน คือ

1. คิดที่ mod 3 จะรู้ว่า k ต้องเป็นเลขคู่

2. หา upperbound ของ k

เนื่องจาก \(1^k < 5^k + 6^k\) อยู่แล้ว ต้องการหาค่า n ที่ทำให้ \(9^n + 10^n < 11^n\) เพื่อจะสรุปว่าฝั่งซ้าย น้อยกว่าฝั่งกว่า เมื่อ \(k \ge n\)

ลองแทนค่าเอาจะเห็นว่า \(n = 5\) เป็นค่า \(n\) ที่น้อยที่สุด ดังนั้น ค่า k มากที่สุดที่เป็นคำตอบได้คือ 4 คำตอบที่เป็นไปได้ก็เลยมีแค่ 2 กับ 4 เท่านั้น โชคดีที่มันใช้ได้ทั้งคู่

ถ้าไม่แทนค่าเอา จะคิดเอาก็ได้ครับ วิธีขี้เกียจหน่อยก็จะให้ค่า n = 8 ซึ่งก็ไม่มากเกินแรงเครื่องคิดเลขจิ้มครับ เพราะตัวที่ต้องทดลองเพิ่มมีตัวเดียวคือ k = 6 (ทดลองที่ mod 6 ก็จะเห็นว่าไม่ได้)

วิธีขี้เกียจของผมก็คือ

\[
\begin{eqnarray}
9^n + 10^n \le 10^n + 10^n = 2 \times 10^n & < & 11^n \\
\log 2 + n \log 10 & < & n \log 11 \\
\frac{\log 2}{\log 11 - 1} & < & n \\
7 & < & n
\end{eqnarray}
\]
ไม่รู้จะถามอะไรต่อดีอะ ...

ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว \(a^4\equiv0\pmod{16}\)
ถ้า a เป็นจำนวนคี่ แล้ว \(a^4\equiv1\pmod{16}\)
ดังนั้น least residue modulo 16 ของ \(a_1^4+a_2^4+...+a_{14}^4\) จึงมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 14
แต่ least residue modulo 16 ของ 1599 มีค่าเท่ากับ 15 ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีคำตอบครับ

Edit: ใส่เลขข้อ