Calculus Marathon (2)
 

กระทู้เก่าใกล้จะล่มแล้ว ดังนั้นมา่ลุยกันต่อที่กระทู้นี้โลด

67. Let $f:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ be an increasing function with the property that there exists $a\in(0,1)$ so that $$\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^{ax} f(t)\,dt,\quad\forall\,x\in[0,\infty).$$ Prove that $f(x)=0$. for any $x\in(0,\infty)$

แก้ไข: ดูโจทย์เวอร์ชันก่อนแก้และตัวอย่างค้านก่อนแก้โจทย์ที่ความคิดเห็นคุณ warut ด้านล่าง

ยังไม่แน่ใจการพิสูจน์เท่าไรอ่ะครับ เพราะงงๆ ว่าไม่ต้องใช้คุณสมบัติของ increasing function ก็สรุปได้??
จากโจทย์จะได้ว่า
เนื่องจาก \[ \int_0^x f(t)dt = \int_0^{ax} f(t)dt \Rightarrow \int_{ax}^{x}f(t)dt = 0 ,\;\; \forall x\in [0,\infty)\]
แต่ $f(x)\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty ) $ จะได้ว่า $\displaystyle{\int_{ax}^{x}f(x)\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty )} $
แต่โจทย์บอกว่า $0 = \displaystyle{\int_{ax}^{x}f(t)dt\geq 0, \; \; \forall x \in [0,\infty )} $ จึงได้ว่า $ \displaystyle{\int_{ax}^{x} f(t)dt = 0 \Rightarrow f(t) = 0, \;\; \forall x\in [0, \infty)}$


ป.ล. increasing ในที่นี่ ใช้ $x\geq y \Rightarrow f(x)\geq f(y)$ หรือว่า $x > y \Rightarrow f(x)> f(y)$ แบบไหนครับ

68. เราแสดงได้ไม่ยากว่า $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x} = e $ ได้ดังนี้
\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; x>0 & ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]
ปล. แก้ไขให้แล้ว ขออภัยครับ แหะๆๆ

แต่ว่าการพิสูจน์นี้ผิด !!! บรรทัดไหน อย่างไร?

ไม่จริงครับ เช่น $$ f(x)= \cases{1 & ,x=0 \\ 0 & ,x>0}$$ ก็มีสมบัติดังกล่าวเช่นกัน

จาก (1) สมมติให้ y อยู่ในเทอมลิมิตของ x แล้ว (2) ใส่ ln ไปแล้ว ลิมิตที่ x หายไป ?

แอ่ว งั้น ขอไปคิดข้อ 67. ใหม่นะครับแหะๆๆ
จากตัวอย่างพี่นี่แสดงว่า $f$ ต้องเป็น Strinctly increasing function สิครับ ??

ส่วนน้อง Mastermander ยังไม่ถูกครับ ในที่นี้ถือว่า $y$ ขึ้นกับ $x$ โดยไม่ได้เขียน :) บรรทัดไหนเอ่ย ??

increasing function ในข้อ 67 ไม่ strict ครับ เพราะไม่งั้นเราจะสรุปตอนท้ายไม่ได้ว่า $f\equiv0$
Hint: เปลี่ยนตัวแปรทางขวามือของสมการเพื่อดึง a ออก

ถ้าให้ $f(x)= 1, x\geq 0 \Rightarrow f(ax)<f(x) $ ก็ไม่เป็นจริงหนิครับ??

สงสัยผมแก้ช้าไปนิด อย่างที่บอกครับว่า $f$ ไม่ strict increasing

ข้อ 67 ทำได้สองแบบ หากไม่ทำแบบที่ผมใบ้ด้านบน ก็อาจจะแสดงว่า เพราะ f integrable หาก $$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt,\quad x\in[0,\infty)$$ แล้ว $$F(x)=\lim_{n\to\infty}F(a^nx)$$ ก็ได้

จะเห็นว่าคำว่า "increasing function" ในที่นี้ต้องหมายถึง monotonic increasing function เพราะมิฉะนั้น $f(x)=0$ จะไม่สามารถเป็นคำตอบได้น่ะครับ (คำว่า "increasing function" มีได้ 2 ความหมาย บางคนก็หมายถึง monotonic increasing บางคนก็หมายถึง strictly increasing ตัวผมเองจึงตัดปัญหาโดยเขียนให้ชัดเจนลงไปทุกครั้งว่าเป็นอันไหนซะเลย)

แต่ว่าข้อความในข้อ 67. ไม่เป็นจริงครับ ยกตัวอย่างเช่น $$f(x)= \cases{-1 & ,x=0 \\ 0 & ,x>0}$$ ก็มีคุณสมบัติสอดคล้องตามที่ต้องการเช่นกันครับ

วิธีที่คุณ warut ทำมา่เิรียบง่ายดีครับ แม้จะไม่ตรงกับวิธีในเฉลยที่ผมมีก็ตาม (deleted)

สังเกตว่าหากเปลี่ยน $f$ เป็น (non-strict) decreasing function คำตอบที่ได้ก็ยังเหมือนเดิม เพียงแต่โดยทั่วไป $f(0)\ne0$ ซึ่งผมจะได้พิมพ์ขยายความอีกรอบพร้อมเฉลยทั้งสองแบบสุดสัปดาห์นี้ครับ เผื่อจะช่วยให้มีไอเดียตอบคำถามข้อ 79 ของผมในกระทู้ถูกผิดมาราธอนได้ครับ

แก้ไข: เจอตัวอย่างค้านเข้าไปถึงกระอัก แต่ยังไงๆมีเวลา่ผมก็จะลงแนวคิดของเขาให้ดูล่ะครับ จะได้ช่วยกันดูเลยว่าเขาพลาดตรงไหน

ขออภัยเป็นอย่างสูงครับ คือผมลบการพิสูจน์ (ที่ผิด) ของผมอันนั้นทิ้งไปเลย เดี๋ยวใครมาอ่านที่คุณ nongtum เขียนแล้วจะงง

คือหลังจากแปะการพิสูจน์อันนั้น ผมก็เจอที่ผิด หลังจากพยายามปรับปรุงแก้ไขการพิสูจน์ จึงพบว่าปัญหาจริงๆแล้วอยู่ที่ตัวโจทย์ ทำให้ผมสร้างตัวอย่างค้านอันดังกล่าวขึ้นมาได้ ผมเลยลบการพิสูจน์ทิ้งไป สวนกับที่คุณ nongtum ตอบมาพอดีครับ

ถ้าแก้โจทย์เป็น "Prove that $f(x)=0$. for any $x\in(0,\infty)$." ก็ใช้ได้แล้วครับ

เห็นด้วยกับคุณ Mastermander ครับ มันผิดตั้งแต่บรรทัดที่ 2 แล้วล่ะ อยู่ดีๆ $\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}}$ ก็หายไป

อีกอย่างคือ $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}(1+\frac1x)^x}$ มันเป็นนิยามของ $e$ อยู่แล้วไม่ใช่เหรอครับ

ผมพิสูจน์ โจทย์ข้อ 67. ฉบับแก้ไข โดยวิธีพื้นๆดังนี้ครับ

จากที่โจทย์ให้มา จะได้ว่า $$ \int_{ax}^x f(t)\,dt= \int_0^x f(t)\,dt- \int_0^{ax} f(t)\,dt=0, \quad \forall\,x\in[0,\infty) $$ จะเห็นว่าถ้า $f(x)=0$ สำหรับทุก $x>0$ แล้ว $f$ จะมีสมบัติสอดคล้องกับที่ต้องการ แต่ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่มี $x_0>0$ ที่ทำให้ $f(x_0)\ne0$ เราจะแยกพิจารณาเป็น 2 กรณีคือ

กรณีที่ 1: $f(x_0)>0$

เนื่องจาก $f$ เป็น monotonic increasing function บน $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(x)>0$ สำหรับทุก $x\ge x_0$ และเราจึงได้ว่า $$\int_{a(x_0/a)}^{x_0/a} f(t)\,dt= \int_{x_0}^{x_0/a} f(t)\,dt >0$$ แสดงว่าในกรณีนี้ $f$ ไม่มีสมบัติตามที่ต้องการ

กรณีที่ 2: $f(x_0)<0$

เนื่องจาก $f$ เป็น monotonic increasing function บน $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(x)<0$ สำหรับทุก $x\in[0,x_0]$ และเราจึงได้ว่า $$\int_{ax_0}^{x_0} f(t)\,dt<0$$ แสดงว่าในกรณีนี้ $f$ ไม่มีสมบัติตามที่ต้องการเช่นกันครับ

ขออภัยครับพี่ warut แล้วก็น้อง Mastermander ด้วย แก้ไขให้แล้วครับ
Hint : ผิดตรงที่ Existence ของลิมิต ในแต่ละขั้นตอนครับ !!!

เฉลยข้อ 68. ครับ เดี๋ยวกระทู้เดี้ยงไปซะก่อน คือจริงๆเป็นข้อผิดพลาดเล็กๆน้อยๆ ครับ ซึ่งถ้าไม่คิดมากเนี่ยก็ไม่มีปัญหาอะไร

\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; \; x>0& ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
\ln (\lim_{x \rightarrow \infty} y) &=& 1 & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(5)
\end{array}\]

จากวิธีทำนะครับ
ขั้นตอนที่ (1) สมมติ y ขึ้นมาถูกต้องไม่มีปัญหา
ขั้นตอนที่ (2) ใส่ $\ln$ ก็ไม่มีปัญหายังคงถูกต้อง
ขั้นตอนที่ (3) ใส่ ลิมิต ยังคงถูกต้องเพราะเราสามารถหาค่าลิมิตทางขวามือด้วยกฏของโลปิตาลได้
ขั้นตอนที่ (4) นี่แหละครับที่ผิด ถึงแม้ว่า $\ln$ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง สามารถสลับลิมิตเข้าไปได้ แต่เพราะว่าเริ่มต้นเราเพียงสมมติให้ y เป็นฟังก์ชัน ซึ่งไม่ทราบว่ามีลิมิตรึเปล่า?? การสลับลิมิตเข้าไปไม่แน่ว่า y จะมีลิมิต ทำให้ขั้นตอนที่ (5) ก็ผิดไปด้วย
ที่ถูกต้องควรจะเป็นแบบนี้ครับ

\[ \begin{array}{ccll} Let \; \; y&=&(1+\frac{1}{x})^x, \; \; \; x>0& ..........(1)\\
\ln y &= & x\ln (1+\frac{1}{x}) & ..........(2)\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} \ln y } & = &\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} x\ln (1+\frac{1}{x})} & ..........(3)\\
e^{\lim_{x \rightarrow \infty}\ln y} &=& e & ..........(4)\\
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{\ln y} &=& e & ..........(5) \\
\lim_{x \rightarrow \infty} y &=& e & ..........(6)
\end{array}\]

ในหนังสือส่วนใหญ่มักจะเขียนจาก (3) แล้วก็ไป (6) เลย แต่บางเล่มก็บอกเพียงว่าใช้ exponential function เท่านั้นแต่ไม่ได้พูดถึงจุดนี้ คงเพราะว่ามันรายละเอียดยิบย่อยเกินไป

ที่ผมไม่เข้าใจที่สุดก็คือว่า ทำไมบรรทัดที่ 2 ต้องใส่เครื่องหมาย absolute ที่ $y$ ด้วยครับ

ส่วนประเด็นที่ว่าผิดผมยังไม่ค่อยเข้าใจครับ ถ้าผมใส่บรรทัด (3.5) ลงไปว่า $$\lim_{x\to\infty} \ln |y|=1$$ อย่างนี้จะถือว่าใช้ได้หรือยังครับ

อีกประเด็นหนึ่งคือ ปกติผมใช้นิยามของ $e$ ว่า $$e=\lim_{x\to\infty} \left( 1+\frac1x \right)^x$$ แสดงว่าในการพิสูจน์นี้ $e$ ต้องนิยามมาจากทางอื่น ซึ่งผมไม่ทราบว่าคุณ M@gpie เลือกใช้นิยามอันไหน ซึ่งทำให้ผมไม่มั่นใจว่าตอนใช้ L'Hospital's Rule มันจะเกิดปัญหาการให้เหตุผลแบบงูกินหางหรือเปล่า

ผมยกตัวอย่างไม่ค่อยดี เอาใหม่นะครับ ทีนี้เปลี่ยนฟังก์ชัน จะได้ไม่ขัดแย้งกับนิยาม $e$ ของพี่ warut
เป็น ส่วนปัญหาการใส่ค่าสัมบูรณ์นี่ผมพลาดอีกแล้วครับแต่ว่าก็ไม่มีผลบนช่วง x>0 ครับ ว่าจะแก้แล้วก็ลืม

เอาเป็นว่าดูตัวอย่างนี้ครับ จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x}$
\[ \begin{array}{ccll} \mbox{Let} \; \; y &=& x^x, \; \; \; x>0&...........(1)\mbox{นิยาม y ขึ้นมาก่อนนะครับ} \\
\ln y &=& x\ln x, \; \; \; x>0& ...........(2) \mbox{ในขั้นนี้ใส่ $\ln$ เข้าไปยังไม่มีอะไรนะครับ}\\
\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln y &=& \lim_{x\rightarrow 0^+} x\ln x \; \; \; x>0&...........(3)\mbox{ใส่ลิมิตทั้งสองข้าง}\\
\lim_{x\rightarrow 0^+} \ln y &=& 0 \; \; \; x>0& ...........(4) \mbox{หาค่าลิมิตฝั่งขวามือด้วยกฏของโลปิตาล} \\
\end{array}
\]
ต่อจากนี้ถ้าเราทำการสลับลิมิตเข้าไปในฟังก์ชัน $\ln$ ก็จะได้ว่า \[ \ln(\lim_{x\rightarrow 0^+} y) = 0 \]
ซึ่งตรงจุดนี้เกิดข้อโต้แย้งตรงที่ว่า ยังไม่มีอะไรการันตีได้ว่า $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} y$ หาค่าได้ จึงไม่สามารถสรุปได้ว่าจริง
วิธีที่ถูกต้องก็คือ เราสามารถใส่ exponential function เข้าไปทั้งสองข้างได้ \[ e^{\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln y} = e^{0} = 1\]
ซึ่งสามารถทำการสลับลิมิต ออกมานอก e ได้ เนื่องจาก $e^x$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง \[ \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\ln y} = 1\]
แต่เราทราบว่า $e^{\ln y} = y$ จึงได้ว่า $\lim_{x\rightarrow 0^+} y $ มีจริง และมีค่าเท่ากับ 1

ในการทำแบบหลังนี้เราไม่ได้ตั้งข้อกำหนดที่ว่า y มีลิมิตไว้ก่อนแต่แสดงได้ว่ามีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ มีลิมิตจริง

ปล. ต้องขออภัยด้วยครับ ข้อเดียวแต่กระทู้ยาวยืด แหะๆๆ

อืม...คิดว่าเข้าใจประเด็นของคุณ M@gpie แล้วล่ะ ขอบคุณมากครับ

69. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วง $(a,b)$ ถ้า $f'$ มีขอบเขตบนช่วง $(a,b)$ แล้วจะได้ว่า $f$ สอดคล้องกับ Lipschitz condition (กล่าวคือ $\exists K >0, \; \; \mid f(x)-f(y) \mid \leq K \mid x - y\mid, \; \; \forall x,y \in (a,b)$ ) ยิ่งไปกว่านั้นจะได้ด้วยว่าเราจะได้ด้วยว่า $f$ มีความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอ (uniform continuity)

70. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งทุกจำนวนจริง $x,y\in \mathbb{R}$ มีสมบัติ $\mid f(x) - f(y) \mid \leq (x-y)^2$ จงพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันค่าคงที่

ให้ $y=x+h$, $h\ne0$ ดังนั้น $$\left| \frac{f(x)-f(x+h)}{h} \right| \le |h|$$ ให้ $h\to0$ เราจะได้ว่า $f'(x)=0$ ดังนั้น $f(x)$ เป็น constant function

69. ใช้ Mean Value Theorem ครับ ค่า $K$ สามารถเลือกให้เป็นค่าขอบเขตบนของ $|f'(x)|$ และสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากจากเงื่อนไขว่า

Lipschitz Condition $\Rightarrow$ Absolute Continuity $\Rightarrow$ Uniform Continuity

70. ข้อความนี้ยังจริงถ้าเปลี่ยนจาก 2 เป็น $\alpha > 1$ ข้อนี้เคยออกเป็นข้อสอบเข้า โท-เอก ของจุฬาฯ ครับ

Fix $a\in \mathbb{R}$. For any $x\neq a$ we have
$$ \big| \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \big| \leq |x-a|^{\alpha - 1}. $$
Letting $x\to a$ we get $|f'(a)| = 0 \Rightarrow f'(a) = 0$
Thus $f$ is constant.

71. ให้ $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $\displaystyle{\int_0^r f(x) \, dx = \int_r^1 f(x) \, dx }$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r$ ในช่วงปิด [0,1] จงพิสูจน์ว่า $f\equiv 0$

ให้ $r,s\in\mathbb Q\cap[0,1]$

จากสมบัติที่โจทย์ให้มา เราจะได้ว่า $$\int_0^s f(x)\,dx-\int_0^r f(x)\,dx=\int_s^1 f(x)\,dx-\int_r^1 f(x)\,dx$$ แสดงว่า $$\int_r^s f(x)\,dx=\int_s^r f(x)\,dx$$ ดังนั้น $$\int_r^s f(x)\,dx=0$$

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันอื่นนอกจาก zero function ที่มีสมบัติตามต้องการแล้ว เราจะได้ว่ามี $c\in[0,1]$ ที่ทำให้ $f(c)\ne0$ เราแยกพิสูจน์เป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1: $f(c)>0$

เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นจะต้องมีช่วงปิด $[a,b]\subseteq[0,1]$ ที่ $a<b$ และ $f(x)>0$ สำหรับทุก $x\in[a,b]$

เนื่อง $\mathbb Q$ dense ใน $\mathbb R$ ดังนั้นจะมี $r,s\in\mathbb Q$ ที่ $a<r<s<b$ และเราจึงได้ว่า $$\int_r^s f(x)\,dx>0$$ จึงเกิดข้อขัดแย้งกับที่เราพิสูจน์ไว้ข้างต้น แสดงว่าในกรณีนี้ไม่มีฟังก์ชันที่มีสมบัติตามต้องการ

กรณีที่ 2: $f(c)<0$

ทำคล้ายๆกับกรณีที่ 1 ครับ :p และเราจะพบว่าในกรณีนี้ก็ไม่มีฟังก์ชันที่มีสมบัติตามต้องการเช่นกัน

My Solution : ให้ $\displaystyle{F(x) = \int_{0}^{x} f(x) \, dx}$
จะได้ว่า $F$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ โดยที่ $F(0) = F(1) = 0$
เนื่องจาก

$$\displaystyle{F(r) = \int_{0}^{r} f(x) \, dx = \int_{r}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{0}^{r} f(x) \, dx = - \int_{0}^{r} f(x) \, dx }$$

เราจะได้ว่า $F(r) = 0$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r\in [0,1]$
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงใดๆในช่วงปิด $[0,1]$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วงปิด $[0,1]$
ที่ลู่เข้าหา $x$ ได้ สมมติว่าเป็น $r_n\to x$ (จากทฤษฎีความหนาแน่นของจำนวนตรรกยะ) เนื่องจาก $F$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจะได้ว่า $F(r_n)\to F(x) \Rightarrow F(x) = 0$ ดังนั้น $F \equiv 0$ บน [0,1]
โดยทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัสเราจะได้ว่า $f(x) = F'(x) = 0$ ทุกค่า $x\in (0,1)$
แต่ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเราจึงได้ว่า $f\equiv 0$ บน $[0,1]$ :sung:

72. มีฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งนิยามบนช่วงเปิด $(0,\infty)$ และมีคุณสมบัติว่า
$$\int_{0}^{\infty} [f(x)]^p \, dx < \infty \Leftrightarrow 1< p < 2$$
หรือไม่ ? ถ้ามีจงยกตัวอย่างประกอบ ถ้าไม่มีจงพิสูจน์

73. $\displaystyle{\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(\ln{x})^2} \, dx}$ หาค่าได้หรือไม่ ?

74.จงหาค่าของ$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$ :rolleyes:

72. $f(x)$ given by
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x},&x\geq1\\
\frac{1}{\sqrt{x}},&0<x<1
\end{cases}
\]
has the required property.

73. Suppose $f(x):=(\ln x)^{-2}\in L^1$, i.e$.$ the integral $\int_1^\infty f(x)\,dx<\infty$. Consider a sequence of function
\[
f_\varepsilon(x)=\frac{1}{(\ln x+\varepsilon)^2},\qquad0<\varepsilon<1.
\]
We have $f_\varepsilon(x)\to f(x)$ for all $x\in\mathbb{R}$, as $\varepsilon\to0$. By Lebesgue dominated convergence theorem, we get
\[
\lim_{\varepsilon\to0}\int f_\varepsilon(x)\,dx=\int f(x)\,dx<\infty.
\]
But it's easy to check that $\displaystyle\int f_\varepsilon(x)\,dx\geq\int_1^\infty\frac{1}{(x-1+\varepsilon)^2}\,dx=\frac{1}{\varepsilon}$. This gives a contradiction, hence the integral is infinite.

75. Suppose $u(x), G(x)$ are smooth functions (i.e$.$ they can be differentiated arbitrary number of times). Show that if
\[
u'(x)\leq G(x)u(x)\qquad\text{for all $x>0$},
\]
and $u(0)=0$, then $u(x)\leq0$ for all $x>0$.

76. Evaluate $$\int_0^\pi \frac{dx}{e^{2x}+e^{2\pi}}$$

75. Put $H(x)=\exp(-\int_0^xG(t)dt)$. Mutiplying the inequality with $H(x)$ and noticing that $H>0$, we get
\[
\frac{d}{dx}(u(x)H(x))\leq0\Longrightarrow u(x)H(x)-u(0)H(0)=\int_0^1\frac{d}{dt}(u(t)H(t))dt\leq0,
\]
by the fundamental theorem of calculus. Thus $u(x)\leq H^{-1}(x)u(0)H(0)=0$ as needed.

Question 76

Let $ u= e^x $ and integrand is of the form
$$ \frac{1}{u(u^2+a^2)} = \frac{1}{a^2}(\frac{1}{u}-\frac{u}{u^2+a^2}) $$

Now we can integrate easily.

The answer of this question is $ e^{-2\pi}(\pi-\ln(\sqrt{2})) $


Next question....

Question 77: Evaluate $$ \int_0^{\infty} e^{-x^2}\cos(x) \,\,dx $$

ถ้าไม่จำกัดเขตจะได้

$$ \int \frac{dx}{e^{2x}+e^{2\pi}}=e^{-2\pi}\bigg(x-\frac12 \ln(e^{2\pi}+e^{2x})\bigg) $$

เมื่อใส่ขอบเขตไป จะได้คำตอบคือ $e^{-2\pi}\big(\frac12 \ln(e^{2\pi}+1)-\ln(\sqrt2)\big) $ :kaka:

คุณ passer-by คิดเลขผิดนิดหน่อยครับ เพราะแทน $e^0=0$ :sung:

ขอเปลี่ยนตัวแปรละกันนะครับ จะได้สะดวก
\[ \int_0^{\infty} e^{-t^2} \cos t \;dt = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \cos t \;dt\]
เราสามารถใช้ผลการแปลงฟูริเยร์หาค่าปริพันธ์ข้างบนได้
ให้ $f(t)= e^{-t^2} \cos t $ จะได้ว่า
\[ F(\omega ) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \cos t \; e^{-j\omega t}\;dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}(e^{-(\omega-1)^2/4} + e^{-(\omega+1)^2/4})\]
เมื่อเราให้ $\omega =0$ ดังนั้น $F(0)= \frac{\sqrt{\pi}}{2}(e^{-1^2/4} + e^{-1^2/4}) = \sqrt{\pi}e^{-1/4}$
\[ \int_0^{\infty} e^{-t^2} \cos t \;dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-1/4}\]

แก้ไขให้แล้วครับ ผมลืมตรงเปลี่ยน cos นิดหน่อยครับ อิอิ ข้อนี้น่าจะใช้ Complex integration ทำได้นะครับเลือก contour เจ๋งๆมาซักเส้น

ผมเจอแบบ Generalize เป็น $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\cos(kx)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{k^2}{4a}} $$
ดังนั้น $ \displaystyle{ \int_0^{\infty} e^{-x^2}\cos(x) \,\,dx =\frac{\sqrt\pi}{2 e^{1/4}}} $

ก่อนอื่นต้องขอบคุณน้อง Mastermander สำหรับ correction ของข้อ 76 ครับ

ส่วนคำตอบคุณ M@gpie ตกเลข 2 ไป ตามสูตรที่น้อง Mastermander ลงไว้ครับ (ว่าแต่น้อง Mastermander กะจะ take ทั้ง Laplace transform และ fourier transform ให้เป็นก่อนเข้าปี 1 เลยหรือครับเนี่ย :great: )

อืมมม...จริงๆแล้ว ผมก็ไม่ได้กะให้เล่นอาวุธสำเร็จรูปอย่าง Fourier transform หรอกครับ

สงสัยคุณ M@gpie คงกำลังดำดิ่งอยู่ในห้วงของ Lebesgue integration จึงใช้วิธีนี้ :happy: เพราะ fourier transform จะ work properly กับ Lebesgue integration ครับ

มาดูวิธีแบบค่อนข้าง soft กันบ้าง

Define $ f(t) = \int_0^{\infty} e^{-x^2}\cos(xt) \,\, dx $

Differentiate under integral sign, then we have

$ f '(t) = -\int_0^{\infty} xe^{-x^2}\sin(xt) \,\, dx $

Integrate by parts $ (u= \sin(xt) \,\, dv= xe^{-x^2} dx) $ and we get

$ f '(t) = -\frac{t}{2}\int_0^{\infty} e^{-x^2}\cos(xt) \,\, dx =-\frac{t}{2}f(t) $

Observe that $ f(0)= \int_0^{\infty} e^{-x^2} \,\, dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2} $

Now we have simple linear ODE order 1 with initial condition.

After solving, we get $ f(t)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{\frac{-t^2}{4}} $ And substitute $ t=1$
,we have got the solution !

NOTE : $ f(t) $ and $ f'(t) $ are both valid by M-test for uniform convergence of integral,that is, $$ \mid e^{-x^2}\cos(xt) \mid \leq e^{-x^2} \,\,\text{and} \int_0^{\infty} e^{-x^2} \,\, dx \,\,\text{converges} $$ $$ \mid xe^{-x^2}\sin(xt) \mid \leq xe^{-x^2} \,\, \text{and} \int_0^{\infty} xe^{-x^2} \,\, dx \,\, \text{converges}$$

ตรง Note ผมแค่เสริมเข้าไปให้วิธีทำมัน complete ครับ ถ้าใครอ่านแล้วงง ก็ลองเปิดตำรา Maths มหาวิทยาลัยแล้วกันนะครับ

วิธีที่ผมใช้เป็นวิธีที่เอาไปใช้เลยที่ผมใช้น่ะครับโดยไม่ต้องรู้ถึง Lebesgue integration ก็ได้ ครับ เพราะเป็นแค่ส่วนเติมเต็มของทฤษฎีเฉยๆ
ตัวทฤษฎีฟูริเยร์ จริงๆ เอาไว้มีโอกาสคงได้ไป(ขอ)เรียนปีหน้าครับ

ข้อนี้รู้สึกจะเป็นข้อสอบมิดเทอมวิชา Signal and system ปีนี้ด้วยครับ ได้ 0 กันไปค่อนภาค ราบคาบ

เฉลยข้อ 67 ตามสัญญาครับ อย่างที่คุณ warut ได้บอกที่ผิดของโจทย์ข้อนี้มาแล้ว จะได้ช่วยกันดูด้วยว่าผู้เขียนพลาดตรงไหน
โดยอาศัยแนวคิดนี้ น่าจะัช่วยตอบคำถามข้อหนึ่งในกระทู้ถูกผิดมาราธอนได้นะครับ

ผมผิดเองครับ ลืมไปว่าเขากำหนดไว้ว่า $f(t)\ge0$ เสมอ :sweat: :blood: :aah: :died: :cry:

78. Compute $$\int_0^\infty \arctan\dfrac{\Theta^2}{x^2}\,dx$$

Next question (ไม่น่ายาก)

79. Evaluate $$ \int \!\!\! \int_A \sin\big( \frac{y-x}{y+x} \big) \,\, dA $$ where $A$ is triangular region bounded by $ y= 2- x $ and x- axis , y-axis

p.s. ผมเพิ่งสังเกตเห็นว่า วิธีทำในข้อ 77 น่าจะ apply มาทำข้อ 74 ของคุณ timestopper ได้ ซึ่งอาจต้อง diff 2 ครั้ง (แต่ผมยังไม่ได้ลองนะครับ แค่ assume ว่าน่าจะทำได้)