ข้อสอบ สมาคม ม.ต้น 2557 (ฉบับเต็ม)
 

น่าจะครบหมดแล้วนะครับของปีนี้

Attachment 16876
Attachment 16877
Attachment 16878
Attachment 16879
Attachment 16880

1. ผมได้ $A=\frac{7}{2} l^2 \sin \frac{2\pi }{7} ,B=\frac{18}{2} l^2 \sin \frac{2\pi }{18}$ จะเปรียบเทียบ ข้อ (2) อย่างไรครับ

2. ทำไมต้องกำหนด $l>4$ ครับ

ขอบคุณครับ

ตอนนี้ผมยังหาวิธีง่าย ๆ ไม่ได้ ถ้าไม่รู้ค่า $\sin 15^{\circ}$ ครับ

เนื่องจาก $\sin \frac{2\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

และ $\sin \frac{\pi}{9}> \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{A}{B} = \frac{7}{18} \cdot \frac{\sin(2\pi/7)}{\sin(\pi/9)} < \frac{7}{18} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}} = \frac{7\sqrt{2}}{6(3-\sqrt{3})}$

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\frac{7\sqrt{2}}{6(3-\sqrt{3})} < \frac{25}{11}$

เนื่องจาก $77\sqrt{2} \approx 77(1.4) = 107.8$

และ $150(3-\sqrt{3}) \approx 150(3-1.7) = 150(1.3) = 195$

แสดงว่า ข้อ 2. จริง

ค่า $l$ ผมคิดไม่จำเป็นต้องมากกว่า 4 นะครับ อาจจะบอกมาเพื่อให้คำนวณง่ายตามวิธีของคนออกข้อสอบครับ.

น่าสนใจดีนะครับ การหาวิธี ม.ต้น จริงๆโจทย์คงตั้งใจจะให้สังเกตว่าเมื่อจำนวนเหลี่ยมเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ พื้นที่จะมากขึ้น
ก็จะได้ $A<B<C$ ซึ่งได้คำตอบไม่ยากครับ

อย่างไรก็ตาม การใช้ความรู้แค่ ม.ต้น ก็อาจจะยังไม่พอที่จะพิสูจน์ข้อสังเกตนี้ :unsure:

โจทย์จึงเปลี่ยนไปเป็นให้พิสูจน์ตัวนี้แทน $\dfrac{A}{25}<\dfrac{B}{11}$ ซึ่งจะสามารถพิสูจน์โดยวิธี ม.ต้นได้ครับ

ก่อนอื่นสังเกต ว่าเราจะสามารถบรรจุรูป 7 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ลงในรูป 21 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าได้

จะพบว่าพื้นที่ 21 เหลี่ยมเป็น $\dfrac{21}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{21}$
ดังนั้นจะได้ $\dfrac{A}{21}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{21}$

และพื้นที่ 18 เหลี่ยมเป็น $\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$
จะได้ $\dfrac{B}{18}=\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$

แต่ $\sin\dfrac{2\pi}{18}>\sin\dfrac{2\pi}{21}$

จะได้ $\dfrac{A}{21}<\dfrac{B}{18}$

และจะได้ผลตามนี้ด้วย $\dfrac{A}{25}<\dfrac{A}{21}<\dfrac{B}{18}<\dfrac{B}{11}$

จึงสามารถพิสูจน์ที่โจทย์ถามได้ครับ :great: (แต่ถ้าสอบอยู่ก็คงไม่มีใครมาพิสูจน์น่ะครับ)

ขอบคุณ คุณกร และคุณThgx0312555 มากครับ

ตอนแรกผมทำโดย

$\sin\dfrac{2\pi}{7}>\sin\dfrac{2\pi}{18}$

$\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{7}>\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$

$\dfrac{18}{7}\times \dfrac{7}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{7}>\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$

$\dfrac{18}{7}A>B$

$\dfrac{A}{7}>\dfrac{B}{18}$

เลยไม่รู้จะไปอย่างไรต่อ แต่เดาว่าข้อนี้น่าจะถูก
.....................................................
เอาใหม่

$A<\dfrac{25}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{25}$

$\dfrac{A}{25}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{25}$

$\dfrac{A}{25}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{25}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}=\dfrac{B}{18}$

$\dfrac{A}{25}<\dfrac{B}{18}<\dfrac{B}{11}$

ขอบคุณอีกครั้งครับ

รบกวนสมาชิกอยากขอเฉลยคำตอบไว้ใช้ตรวจสอบค่ะ ขอบคุณคะ

ผมไปทำมาเเล้วครับ ยากอยู่เหมือนกัน ข้อเเรก ไม่เคลียร์ใช่มั้ยครับ

มีคนส่งเฉลยมาให้ดู --> น่าจะสรุปได้ดังนี่
ตอนที่ 1
$\begin{array}\ 1.-& &2. ค& &3. ข& &4. ง& &5. ก \\ 6. ง& &7. ข& &8. ก& &9. ง& &10. ง \\ 11. ค& &12. ข& &13. ก& &14. -& &15. ค \end{array} $

ตอนที่ 2
16. 30 นาที
17. 1/2
18. 6
19. $(5x-4)(7x^2+2x+52)$
20. 159 คน

ตอนที่ 3
21. $(2x-3+\sqrt{3}+\sqrt{5})(2x-3+\sqrt{3}-\sqrt{5})$
22. $\frac{8\pm \sqrt{51}}{2}$
23. a = -3, b = 15
24. 1.2
25. $\frac{1+k^2}{1-k^2}$
26. $\frac{20}{3}$ หรือ $6\frac{2}{3}$
27. a = -2 , b = 3
28. 441 รูป (แก้ไขคำตอบ)
29.1 $4:7$ 29.2 เท่ากัน ที่ $20^o$C
30. $65^o$
31. 90 กอง
32. A 10 วัน, B 15 วัน, C 30วัน
33. 63 นาที
34. 33 กม.
35. 6.6 ซ.ม.
36. 2.5 หน่วย
37. $\frac{6}{25}$
38. $\frac{5}{3}$ บาท
39. 45 องศา
40. 6.16

ขอรบกวนสมาชิกช่วยชี้แนะแนวทางในข้อ 3 4 7 8 11 16 และ 17 ขอบคุณคะ

อยากทราบข้อ 33และ ข้อ 38 ครับ

ข้อ 4(แนวคิดเเบบมั่วๆ ของผมครับ)
ผลต่างของจำนวน 2 จำนวนที่ไม่เท่ากันคือ 2 หรือ 4 หรือ 6 หรือ 8 หรือ 10
แสดงว่าต้องเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่เรียงกัน
ถ้าผลคูณของจำนวนทั้ง 6 จำนวน หารด้วย 33 ลงตัว
แสดงว่่าใน 6 จำนวนนี้ต้องมีจ้านวนที่หารด้วย 3 ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัวและมีจำนวนที่หารด้วย 11 ลงตัวอย่าวน้อย 1 ตัว
โดยขอสมมติว่าทั้ง 6 จำนวนเป็น 7 9 11 13 15 17 ซึ่งมี 2 จำนวนที่มีหลักเดียว
จำนวนชุดนี้ตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้แล้วจับคูณกันได้ 2297295

แนวคิดประมาณนี้ครับ

:happy::happy::happy:

ป.ล. ถ้าอยากได้เฉลยแบบเต็มรอผู้รู้ดีกว่าครับ

ข้อ 7
$a^2+3a+b^2$
$=a^2+2ab+b^2+ab$
$=(a+b)^2+ab$
$=2^2+ab=2$ (เพราะว่า $a+b=2$)
ดังนั้น $ab=-2$
$a^3+b^3$
$=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$=(a+b)[(a+b)^2-3ab]$
$=2(2^2+6)$
$=2(10)$
$=20$

ข้อ.38 ลองศึกษาเรื่องค่าคาดหมาย น่าจะม.3
จะได้ว่า = (60)×6/36 + (-10)×30/36 = 60/36 = 5/3 บาท

ข้อ.33 กำหนดให้
v = ความเร็วเครื่องบินเมื่อลมนิ่ง
u = ความเร็วลม
t = เวลาที่ใช้บินเมื่อลมนิ่ง(นาที)
(v-u)84 = vt = (v+u)(t-9) = ระยะทางกท.-ชม.
$\frac{(v-u)}{v} = \frac{t}{84}$ ----(1)
$\frac{(v+u)}{v} = \frac{t}{(t-9)}$ ----(2)
(1)+(2); $2 = \frac {t^2+75t}{84t-9(84)}$
จัดรูปได้เป็น $t^2-93t+(21)(72)=0$
จะได้ t = 21 หรือ 72 นาที
แต่เวลาที่ใกล้เคียง 1 ชั่วโมงคือ 72 นาที
ดังนั้นเวลาบินตามลมคือ t-9 = 63 นาที

ข้อ.17 การที่มีรากซ้ำ คือ เป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์
หมายถึงรูปสมการปกติ $Ax^2+Bx+ C=0$ ที่มีค่า $B^2-4AC= 0$ และ $ x = -\frac{B}{2A} $

จากรูปสมการที่โจทย์ให้มาคือ $ax^2+ ax+1=0$
จะได้ว่า $a^2-4(a)(1) = 0; a = 4 $ และ $ k = -\frac{B}{2A} = -\frac {1}{2}$

ดังนั้น $a^k = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} =0.5$

ข้อ.16 อัตราการไหล : ท่อใหญ่= L, ท่อเล็ก = S และความจุถัง= V
จะได้ว่า (L+ S)10 = St = L(t-15) จัดสมการได้
$\frac {S}{L+ S} = \frac {10}{t}$ ----(1)
$\frac {L}{L+ S} = \frac {10}{t-15}$ ----(2)
(1)+(2); $1 = \frac {20t-150}{t^2-15t}$
จะได้รูปสมการเป็น $t^2-35t+150 =0$
ดังนั้น t = 30 นาที (เพราะ 5 นาทีเป็นไปไม่ได้)

ข้อ.11 $(2cos A -1)(cos A + 2) = 0, cos A = \frac{1}{2}$ A = 60°
$\sqrt{3} sin A+ cos^2 B = \sqrt{3} sin A+ sin^2 A = 3/2+3/4 = 2.25$

ข้อ17ถามคุณPURIWATTว่า aกำลัง2ลบ4aเท่ากับ 0 มาจากไหน ช่วยขยายหน่อยคะ

ข้อ 3)

เพื่อให้คิดได้ง่าย ให้ $A = 3x-4$ จะได้

$(A-1)^3+A^3+(A+1)^3 = (A+2)^3$

$A^3-3A^2+3A-1+A^3+A^3+3A^2+3A+1 = A^3+6A^2+12A+8$

$3A^3+6A = A^3+6A^2+12A+8$

$2A^3-6A^2-6A-8 = 0$

$A^3-3A^2-3A-4 = 0$

$(A-4)(A^2+A+1) = 0$ ตรงนี้ได้มาจาก ทบ.ตัวประกอบ $P(4) = 0$ แล้วตั้งหาร

$(A-4)([A+\frac{1}{2}]^2+\frac{3}{4}) = 0$

$\therefore A = 4 \Rightarrow 3x - 4 = 4 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$

แทนค่า

$9(\frac{8}{3})^2 + \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = 66$

รบกวนช่วยเฉลยข้อที่ 35 ให้ด้วยได้มั้ยคะ เช็คคำตอบกับเพื่อนแล้วไม่ตรงกันน่ะค่ะ

Attachment 17032

ประมาณนี้ครับ

ขอบคุณมากครับ

ข้อ.17 --> ผมได้แก้ไข #15 ให้อ่านเข้าใจได้ง่ายขึ้นแล้วครับ

(แก้ตัวอักษรแบบตัวพิมพ์ใหญ่และตัวพิมพ์เล็กกันสับสน)

ขอบคุณคุณpuriwattมากค่ะชัดเจนแล้ว

ยังมีหลายข้อที่คิดไม่ออกคะรบกวนขอแนวคิดด้วยคือข้อ13-25-32-34และ37ขอบคุณคะ

ข้อ.13 น่าจะดูในลิงค์นี้ได้ครับ

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=21841

ข้อ.25 เนื่องจาก $y = kx$ จะได้ $y^2 = kx^2$, $x^2+ y^2= x^2(1+ k^2)$ และ $x^2 - y^2= x^2(1-k^2)$

และเนื่องจาก $x^2+ y^2= h(x^2-y^2)$

ดังนั้น $ h = \frac{x^2+ y^2}{x^2-y^2} = \frac {1+ k^2}{1-k^2}$

32)

ให้ปริมาณงาน $w$ หน่วย

ให้ เอ, บี, ซี ทำงานได้วันละ $a, b, c$ หน่วยตามลำดับ

$6a+6b = w$

$30a+30b = 5w$ $-----(1)$

$10b+10c = w$

$30b+30c = 3w$ $-----(2)$

$7.5a+7.5c = w$

$30a+30c = 4w$ $-----(3)$

$(1)-(2)+(3)$

$60a = 6w$

$10a = w$

แทนค่าใน $(2), (3)$

$15b = w$

$30c = w$

34)

$$vt = (v+6)(t-\frac{1}{20})$$

$$vt = vt+6t-\frac{v}{20}-\frac{6}{20} $$

$$\frac{v}{20}= 6t-\frac{6}{20} ---(1)$$

$$vt = (v-5)(t+\frac{1}{20})$$

$$vt = vt-5t+\frac{v}{20}-\frac{5}{20} $$

$$\frac{v}{20}= 5t+\frac{5}{20} ---(2)$$

$(1)-(2)$

$$0= t-\frac{11}{20} \Rightarrow t = \frac{11}{20}$$

แทนค่าใน $(2)$ ได้ $v = 60$

$$\therefore s = (60)(\frac{11}{20})= 33 km.$$

ข้อ.37 จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 5×10 = 50 วิธี

-เลือกมาแล้วรวมกันไม่ถึง 5 แจกแจงได้ดังนี้
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) รวม 6 วิธี

-เลือกมาแล้วรวมกันมากกว่า 12 แจกแจงได้ดังนี้
(3,10),(4,10),(5,10),(4,9),(5,9),(5,8) รวม 6 วิธี

ความน่าจะเป็นคือ (6+6)÷50 = 6/25 หรือ 0.24

ขอขอบคุณคุณpuriwattและคุณyellowมากๆที่ช่วยให้ความกระจ่างค่ะ ไหนๆก็รบกวนเยอะแล้วขอเพิ่มเติมข้อ 6 18 19 21 36 และ39 ช่วยชี้แนะด้วยค่ะ PLEASE

สวัสดีค่ะ
ขอนำเสนอสายธารแห่งหิน(Cascade of hints)






ขอไปจัดสวนหินที่บ้านก่อนนะคะ
สวัสดีค่ะ

ขอบคุณคุณScylla_Shadowมากค่ะ สวนหินสวยงามลึกซึ้งค่ะ

สงสัยหินที่ยี่สิบเอ็ดค่ะ
จากโจทย์ $4{\sqrt{3x}}$
ดึง x ออกมาเป็นตัวร่วมได้หรือคะ สงสัย เพราะเห็นติดรากอยู่กับ 3

สวัสดีค่ะ
สังเกตเห็นเหมือนกันค่ะ แต่เข้าใจ (มโน) ว่าน่าจะเกิดจากการพิมพ์ผิด และหมายถึง $4{\sqrt{3}}x$ ค่ะ

เพราะไม่งั้นคงแยกออกมาไม่หลุดค่ะ

สวัสดีค่ะ

ขอบคุณมากค่ะ และเห็นด้วยค่ะ (^.^)

ข้อ 28 ถ้านับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 1 หน่วย จะได้ 171 รูป ตามที่เฉลยครับ

แต่ถ้านับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวมากกว่า 1 หน่วย ด้วย จะได้ 441 รูป รึเปล่าครับ

จริงครับ ใช่ครับ :)

นับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 1 หน่วย = 18×19/2 = 171
นับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 2 หน่วย = 15×16/2 = 120
นับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 3 หน่วย = 12×13/2 = 78
นับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 4 หน่วย = 9×10/2 = 45
นับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 5 หน่วย = 6×7/2 =21
นับจำนวนหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวด้านละ 6 หน่วย = 3×4/2 = 6
รวมทุกกรณีจะมีรูปหกเหลี่ยม = 171+120+78+45+21+6 = 441 รูป

ขอบคุณสำหรับข้อสอบครับ