มาราธอนโจทย์เข้าเตรียมฯ2555กันครับ
 

1. $S=1\bullet \binom{n}{1}+2\bullet \binom{n}{2}+3\bullet \binom{n}{3}+...+n\bullet \binom{n}{n}$
จงหาค่าของ S
2.กำหนดให้ $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz$
จงพิสูจน์ว่า $x+y+z+6\mid x^3+y^3+z^3$
3.Find the locus of point (x,y) for which $x^3+y^3+3xy=1$
4.จงแยกตัวประกอบ $x^3(x+1)=2(x+a)(x+2a)$

5.จงแยกตัวประกอบ $\sqrt{a-x}=a-x^2$ ให้ $a>0$
6.จงหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่าใกล้เคียง A มากทีสุด
$A=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\displaystyle{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{\displaystyle{10000}}}$
7.กำหนด$\Delta ABC$ จงพิสูจน์ว่า \[\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C \ = \, 4\sin A\sin B\sin C\]
8.จงหาค่าของ $\sin 10^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ$

9.ระหว่าง $1001^{999}$ กับ $1000^{1000}$
10.จงหาค่าของ $\cos 36^\circ-\cos 72^\circ$
11.ให้$A$เป็นจำนวนที่มี 666 หลัก แต่ละหลักคือ 6
$\quad \,$ $B$เป็นจำนวนที่มี 666 หลักเช่นกัน แต่ละหลักคือ 3
$\quad \,$ จงหาจำนวนหลักของ $A\bullet B$
12.$\Delta ABC \quad \frac{a}{b}=2+\sqrt 3 \quad \angle C = 60^\circ $ จงหาขนาดของมุม A และ B

----มาช่วยกันแชร์วิธีทำ แชร์ข้อสอบกันครับ:please::please:

ยากไปมั้ยครับ
1.) ตอบ $S=n2^{n-1}$

ต้องให้พร้อมที่สุดคับ เพื่อเตรียมฯ :cool:

3.) ถ้า$a+b+c=0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3=3abc$
จากโจทย์$x^3+y^3+(-1)^3=3xy(-1)$
แสดงว่า $x+y-1=0$
$(x,1-x)$ ตอบในรูปนี้ป่าวคับ ไม่แน่ใจ

ถ้า$a+b+c=0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3=3abc$ ไม่สมมูลกับ ถ้า $a^3+b^3+c^3=3abc$ เเล้ว $a+b+c=0$

2.) $x^3+y^3+z^3\ \ \ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$
$\qquad \qquad \qquad \quad \quad = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$ แทน xyz จากโจทย์
$\qquad \qquad \qquad \quad \quad = (x+y+z+6)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

ผมว่าไม่ใช่แนวข้อสอบเตรียมอุดมศึกษา นะครับ(ยากกว่า)
5.ให้ $\sqrt{a-x}=a-x^2=i$ ให้ $a>i>0 , a>x$
$i^2=a-x ; i^2+x=a แทนลงใน i=a-x^2 ; i=i^2+x-x^2 , i-x = (i-x)(i+x)$
$จะได้ว่า i+x=0,1 $
$; i+x=0 i=-x$
$ ; i+x=1 i=1-x$
$แทน i=1-x ลงใน i=a-x^2=\sqrt{a-x}$
$1-x=a-x^2 ; x^2-x+(1-a)=0 (ผมมาถึงทางตันครับ)$
$แทน i=-x ลงใน i=a-x^2=\sqrt{a-x}$
$; x^2+x-a=0 (ตันอีกแล้วครับ)$
(ทำไปด้วยพิมพ์ไปด้วยไหนๆก็พิมพ์มาแล้ว ก็ขอโพสต์ไว้ให้ชมเล่นๆละครับ ไปนอนละครับ ฝันดี):)

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-za)+3xyz$
ดังนั้นเมื่อ $x^3+y^3+(-1)^3=3xy(-1)$
แสดงว่าถ้า $x+y+z\not= 0$ แล้ว $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = 0$
ถ้าเป็นอย่างงี้ ก็จะได้ $x^2+y^2+1=xy-y-x$
$\quad x^2+y^2+2=(x-1)(y-1)$
ผมได้พิกัดแค่อันนี้อ่ะครับ$(-1,-1)$
รบกวนช่วยผมต่อด้วยครับ

คิดใหม่อีกรอบ แทนตัวอักษรผิด

โจทย์มันเป็นอย่างงี้อ่ะครับ วิธีทำแก้แล้วครับ

5.$\sqrt{a-x}=a-x$
$a-x=a^2-2x^2a+x^4$
$a^2-(2x^2+1)a+(x^4+x)=0$
$a=\frac{2x^2+1\pm \sqrt{4x^2-4x+1}}{2}$
$a=\frac{2x^2+1\pm (2x-1)}{2}$
$a=\, x^2+x , x^2-x+1$

3. ได้เป็นเส้นตรง $x+y=1$ รวมกับจุด $(-1,-1)$

4. ข้อนี้ง่าย ใบ้ให้ว่าแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองง่ายกว่าเยอะ

ข้อ 9 ใช้ทวินามกระจายดูแล้ว เหมือนจะตอบ ว่า $1001^{999} มากกว่า$

6 x 3 = 18 ( 1 หลัก คูณ 1 หลัก = 2 หลัก)

66 x 33 = 2178 ( 2 หลัก คูณ 2 หลัก = 4 หลัก)

666 x 333 = 221778 ( 3 หลัก คูณ 3 หลัก = 6 หลัก)

6666 x 3333 = 22217778 ( 4 หลัก คูณ 4 หลัก = 8 หลัก)

.
.
.
6 จำนวน 666 หลัก x 3 จำนวน 666 หลัก = 666+666 = 1332 หลัก

ถ้่า $a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow a+b+c=0 \vee a = b = c$

จึงตอบ $(x,y) = \cases{(x,1-x) \cr (-1,-1)} $

ถ้่า $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = 0 \Rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$ ลองแยกตัวประกอบดูครับ
$ \Rightarrow x=y, y=z, z=x\Rightarrow x=y=z=-1 $ จึงได้อีกคำตอบ (-1,-1)

ดังนี้ครับ

Induction let $ n \in \mathbb{N}$

$\because (n+1)^2 = n(n+2)+1$

$(n+1)^2 > n(n+2)$

$2log(n+1)>logn(n+2)$
$2nlog(n+1)>nlogn(n+2)$

$(n-1)log(n+1)+(n+1)log(n+1) > nlogn+nlog(n+2)$

$\therefore (n+1)log(n+1)-nlog(n+2)>nlogn-(n-1)log(n+1)$


let $P(n)$ แทน $n^n>(n+1)^{n-1}$
P(2) is true; $2^2>3^1$

if P(n) is true then $n^n>(n+1)^{n-1}$
$nlogn>(n-1)log(n+1)$
$nlogn-(n-1)log(n+1)>0$

but $(n+1)log(n+1)-nlog(n+2)>nlogn-(n-1)log(n+1)>0$
$(n+1)log(n+1)>nlog(n+2)$
$(n+1)^{n+1}>(n+2)^n$

that is P(n+1) is also true
P(n) is true for all n > 1

$1000^{1000}>1001^{999}$

วิธีสำหรับคนรู้จักอสมการสำเร็จรูป

ขอบคุณครับ ไม่ได้นึกถึงวิธีนั้เลย

อีกวิธีครับใช้แบบที่เรียนในม.ต้น
ทำเลขยกกำลังให้เท่ากันและการกระจายพหุนาม แล้วเปรียบเทียบ

$1001^{999}\times 1001=1001^{1000}$ เทียบกับ $1000^{1000}\times 1001$

$1001\times 1000^{1000} =1000^{1000}+1000^{1000}+...$ มี1001 พจน์
และ
$1001^{1000}=(1000+1)^{1000}$

$=\binom{1000}{1000}1000^{1000}+\binom{1000}{999}1000^{999}+\binom{1000}{998}1000^{998}+...+1$ มี 1001 พจน์ เช่นกัน

เปรียบเทียบพจน์ต่อพจน์แล้ว เห็นว่า $1001\times 1000^{1000}>1001^{1000}$

เพราะฉะนั้น $1000^{1000}>1001^{999}$ ครับ

11.ให้A เป็นจำนวนที่มี 666 หลัก แต่ละหลักคือ 6
B เป็นจำนวนที่มี 666 หลักเช่นกัน แต่ละหลักคือ 3
จงหาจำนวนหลักของ $A\times B$

วิธีคิดอีกแบบครับ

$A=.66...\times 10^{666}=\frac{6}{9}\times 10^{666}$

$ B = .33...\times 10^{666}=\frac{3}{9}\times 10^{666} $

ดังนั้น $A\times B=\frac{6}{9}\times \frac{3}{9}\times 10^{666}\times 10^{666}$

$A\times B=\frac{2}{9}\times 10^{1332}$

เพราะฉะนั้น ผลคูณของA,B จะเป็นจำนวนที่มี $1332$ หลัก ครับ

คาราวะ 10 จอกครับ งดงามมาก :great:

อยากเทพอย่างพี่จัง....ชาติหน้าตอนบ่ายๆละกัน :kaka:

พี่ครับ log นี่มีเรียน ม.อะไรอ่ะครับ ดูยากจัง:aah::aah:

6.(Tricky Problem)


10.

$\cos 36^\circ-\cos 72^\circ = 2\sin (-18^\circ)\sin 54^\circ$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2\sin 18^\circ\cos 36^\circ$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{-4\sin 18^\circ\cos 18^\circ\cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{-\sin 72^\circ}{ 2\cos 18^\circ}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -\dfrac{1}{2}$

ผมว่ายากไปนะ แต่ไม่แน่เพราะปีที่แล้วก็ยากกว่าปกติ

ปล. log เรียน ม.5เทอม1 ครับ

ข้อ10 ผมว่า มันไม่น่าเป็นลบนะครับ จาก $\cos 0^\circ > \cos 90^\circ$
เครื่องหมายน่าจะผิดนิดนึงนะครับ
$\cos A - \cos B \ = \ -2\sin (\frac{A+B}{2})\sin (\frac{A-B}{2}) $

ข้อ 1 ใช้การดริฟต์ หรือจัดพจน์เอาพจน์แรกบวกกับพจน์สุดท้ายทำคล้ายๆวิธีเกาส์ก็น่าจะออกครับ

ข้อ 6 ตอบ 197 ปะครับ ไม่ค่อยแน่ใจ

ขอแนวการคิดข้อแรกหน่อยครับ

$= n[\frac{(n-1)!}{0!(n-1)!}+\frac{(n-1)!}{1!(n-2)!}+\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}+...+\frac{(n-1)!}{(n-1)!0!}]$
$=n\times 2^{n-1}$

$(x+y)^n=\binom{n}{n}x^n+\binom{n}{n-1}x^{n-1}y+\binom{n}{n-2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{1}xy^{n-1}+\binom{n}{0}y^n$

แทน x,y = 1
จะได้

$2^n=\binom{n}{n}+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n-2}+...+\binom{n}{2}+\binom{n}{1}+\binom{n}{0}$