ฝึกอินทิเกรตกัน
 

ปิดเทอมนี้หลายๆท่านน่าจะว่างๆกันอยู่ (เหมือนผม :sweat:) ก็เลยหาโจทย์อินทิเกรตมาให้ทำกัน อัพเดทโจทย์เรื่อยๆครับ ทีละ 10 ข้อ(จะมีคนเล่นด้วยมั้ยน้อ :()

เงื่อนไข : ตัวแปรนอกเหนือจาก x จะถือว่าเป็นค่าคงตัวหมดครับ

ข้อ9)ก่อนะละกันอิอิ
$$\int x-\frac{1}{x^2} dx=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+C$$
ข้อ2)ด้วยละกันไม่รู้ถูกไหมนะครับ
$$\int (ab)^x dx = \frac{(ab)^x}{\ln ab}+C$$
ข้อ8)ด้วยนะครับ
$$\int \frac{\sin 2x}{\cos x} dx=-2\cos x + C$$

แป๊กอะไรรึปล่าวครับ :laugh:

ข้อ7)
$$\int \frac{1}{\sqrt{x+1}}+1 dx=2\sqrt{x+1}+x+C$$

ผมขอข้อ 4)

$\int_\,\frac{3}{x^2+4x+5}dx$

$\int_\,\frac{3}{(x^2+4x+4)+(1)}dx$ = $\int_\,\frac{3}{(x+2)^2+1^2}dx$

ได้ $3tan^{-1}(x+2)+C$

1.\[
\int {\sqrt {10^{3x} } dx = \int {\left( {10^{\frac{3}{2}} } \right)} } ^x dx = \frac{{2\sqrt {10^{3x} } }}{{3\ln 10}} + c
\]
2.\[
\int {a^x b^x dx = \int {\left( {ab} \right)} } ^x dx = \frac{{a^x b^x }}{{\ln \left( {ab} \right)}} + c
\]
3.\[
\int {\frac{{x + 2}}{{x^2 + 1}}dx = } \int {\frac{x}{{x^2 + 1}}dx + \int {\frac{2}{{x^2 + 1}}dx = } } \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {x^2 + 1} \right)}}{{x^2 + 1}} + \int {\frac{2}{{x^2 + 1}}dx = } \frac{1}{2}\ln } \left( {x^2 + 1} \right) + 2\arctan x + c
\]
4.\[
\int {\frac{{3dx}}{{x^2 + 4x + 5}} = 3\int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 2} \right)^2 + 1}} = } } 3\int {\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)^2 + 1}} = } 3\arctan \left( {x + 2} \right) + c
\]
5.\[
\int {\frac{{\left( {1 + \tan ^2 x} \right)}}{{1 + \tan x}}} dx = \int {\frac{{\sec ^2 x}}{{1 + \tan x}}} dx\int {\frac{{d\left( {1 + \tan x} \right)}}{{1 + \tan x}} = \ln \left| {1 + \tan x} \right| + c}
\]
6.\[
\int {\frac{{\tan x}}{{1 - \tan ^2 x}}dx = \int {\frac{{\sin x\cos x}}{{\cos ^2 x - \sin ^2 x}}dx = } } \frac{1}{2}\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}} dx = \frac{1}{4}\int {\tan 2xd\left( {2x} \right) = \frac{1}{4}\ln \left| {\sec 2x} \right| + c}
\]
7.\[
\int {\frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }}} dx = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + 1} \right)dx = 2\sqrt {x + 1} + x + c}
\]
8.\[
\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}}dx = 2\int {\sin xdx = - 2\cos x + c} }
\]
9.\[
\int {\frac{{x^4 - x}}{{x^3 }}dx = \int {\left( {x - \frac{1}{{x^2 }}} \right)} } dx = \frac{{x^2 }}{2} + \frac{1}{x} + c
\]
10.\[
\int {\frac{{e^x }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}dx = } \int {\frac{{d\left( {e^x } \right)}}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }} = } \ln \left( {\sqrt {1 + e^{2x} } + e^x } \right) + c
\]

จาก #2,#3 ประทานโทษคุณเนสครับ ผมแป๊กเอง :blood:
คุณ V.Rattanapon ครับ ถูกหมดเลยครับ :please:
ไม่ทราบว่า ข้อ 10 ผมทำแบบนี้ได้หรือไม่ครับ
$$\int \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$$
$$= \int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}} de^x$$
$$= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}} d(1+e^{2x})$$
$$= \sqrt{1+e^{2x}}+c$$
ปล. อัพถึงข้อ 20 แล้วนะครับ

ข้อ 12) $\int\frac{(\sqrt{x}-1)^2 }{\sqrt{x}}dx $
ได้เป็น $\int x^{\frac{1}{2}}-2+x^{-\frac{1}{2}}$
ตอบ $2\frac{\sqrt{x^3}}{3}-2x+2\sqrt{x}+C$

ข้อ 10) ใช้การแทนค่าตัวแปรคับ ให้ $U=1+e^{2x}$
ก็ออกแล้วคับ:)

ข้อ 11)
$\int \frac{x^3+1}{x+1}dx$
ได้ $\int\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)}dx $
$\int(x^2-x+1)dx$
ตอบ $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+C$

ข้อ 13)
$\int secx(tanx+cosx)dx$
ได้ $\int(secxtanx+1)dx$
ตอบ $secx+x+C$

ข้อ 15)
$\int(e^{2x}+1)e^{-x}dx$
ได้$\int (e^x+e^{-x})dx$
ตอบ $e^x-e^{-x}+C$

ข้อ 16)
$\int\frac{tan(ax)+tan(bx)}{1-tan(ax)tan(bx)}$
ได้ $\int tan(ax+bx)$
ตอบ $\frac{1}{a+b}ln|sec((a+b)x)|+C$

ข้อ 19)
$\int(\sqrt{x}-csc^2x)dx$
ตอบ $\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+cotx+C$


ข้อ 20)

$\int \frac{sec^2{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$
ให้ $u=\sqrt{x}$
$dx=2\sqrt{x}du$
$\int 2sec^2udu$
ตอบ$2tan\sqrt{x}+C $

ไว้ที่เหลือจะมาทำต่อนะคับ

คุณ JamesCoe#18 ตลกข้อ 15 ครับ :laugh:

หุุหุ เบลอๆนิิดหน่อยคับคุณ [SIL]
ตอนนั้นก็เกือบตี3ละคับแก้ให้แล้วนะัคับ

ผิดครับเพราะ
\[
\int {\frac{{e^x }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}dx \ne } \int {\frac{1}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}d\left( {1 + e^{2x} } \right) = 2} \int {\frac{{e^{2x} }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}dx}
\]
ผมว่ามันจะไม่ออกนี่ซิครับ ;)

ก็กำหนดให้ A=$e^x$

จะได้ $\int\frac{A}{\sqrt{1+A^2}}dA$

ให้ $U = 1+A^2$

จะได้ $dA=\frac{dU}{2A}$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{U}}dU$

ตอบ $\sqrt{1+e^{2x}}+C$:)

ตรงบรรทัดที่ 2 แทนค่าผิดหรือป่าวครับ

$\int \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$
ให้ $u=\sqrt{1+e^{2x}}$ ดังนั้น $\frac{du}{dx}=\frac{2e^{2x}}{2u}$ ได้ $dx=\frac{2u du}{2e^{2x}}$
แทนในโจทย์ $\int \frac{e^x}{u}\cdot \frac{2u du}{2e^{2x}}=\int \frac{1}{e^x}du$____(1)
เพราะว่า $u=\sqrt{1+e^{2x}}$ ดังนั้น $e^x=\sqrt{u^2-1}$
แทนใน(1); $\int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}du$
อินทิเกรตได้ $\ln (u+\sqrt{u^2-1})+c$
แทนค่ากลับ $\ln (\sqrt{1+e^{2x}}+e^x)+c$ :happy:

ถูกต้องแล้วคับ ลองดิฟกลับดูได้คับ:kaka:

คุณNe[S]zA เหมือนจะผิดนะคับลองดูใหม่นะคับตรงบรรทัดที่ 2

แก้แล้วครับเป็นแบบนี้ใช่ไหมครับ
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2u}\cdot \frac{d(e^{2x})}{dx}=\frac{2e^{2x}}{2u}$$

\[
\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx}
\]
แถมให้ครับ

11.\[
\int {\frac{{x^3 + 1}}{{x + 1}}dx = \int {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 - x + 1} \right)}}{{x + 1}}} dx} = \int {\left( {x^2 - x + 1} \right)dx = \frac{{x^3 }}{3} - \frac{{x^2 }}{2} + x + c}
\]
12.\[
\int {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2 }}{{\sqrt x }}dx = \int {\left( {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}} \right)} } dx = \int {\left( {\sqrt x - 2 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx = \frac{{2x^{\frac{3}{2}} }}{3} - 2x + 2\sqrt x + c}
\]
13.\[
\int {\sec x\left( {\tan x + \cos x} \right)dx = \int {\sec x\tan xdx + \int {\sec x\cos xdx = \sec x + x + c} } }
\]
14.\[
\int {\sqrt {1 - \cos x} dx = \sqrt 2 \int {\sin \frac{x}{2}dx} } = - 2\sqrt 2 \cos \frac{x}{2} + c
\]
15.\[
\int {\left( {e^{2x} + 1} \right)} e^{ - x} dx = \int {\left( {e^x + e^{ - x} } \right)} dx = e^x - e^{ - x} + c
\]
16.\[
\int {\frac{{\tan ax + \tan bx}}{{1 - \tan ax\tan bx}}} dx = \int {\tan \left( {ax + bx} \right)} dx = \frac{1}{{a + b}}\int {\tan \left( {a + b} \right)xd\left( {\left( {a + b} \right)x} \right) = } \frac{1}{{a + b}}\ln \left| {\sec \left( {a + b} \right)x} \right| + c
\]
17.\[
\int {\left( {1 + \cos x} \right)^{\frac{3}{2}} dx = \int {\left( {\sqrt 2 \cos \frac{x}{2}} \right)^3 dx = 2\sqrt 2 \int {\cos ^3 \frac{x}{2}dx = } } } 4\sqrt 2 \int {\left( {1 - \sin ^2 \frac{x}{2}} \right)} d\left( {\sin \frac{x}{2}} \right) = 4\sqrt 2 \left( {\sin \frac{x}{2} - \frac{1}{3}\sin ^3 \frac{x}{2}} \right) + c
\]

18.\[
\int {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} dx = \int {\frac{{\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}}{{\sin ^2 x}}} dx = \int {\left( {\csc ^2 x - \csc x\cot x + \csc x - \cot x} \right)dx = - \cot x} + \csc x + \ln \left| {\csc x - \cot x} \right| - \ln \left| {\sin x} \right| + c
\]
19.\[
\int {\left( {\sqrt x - \csc ^2 x} \right)} dx = \frac{{2x^{\frac{3}{2}} }}{3} + \cot x + c
\]
20.\[
\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \sec ^2 \sqrt x dx = 2\int {\sec ^2 \sqrt x } d\left( {\sqrt x } \right) = 2\tan \sqrt x + c
\]

ทำไมข้อ16)ติด $\frac{1}{a+b} $ด้วยอ่ะครับ

\[
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx}
\]
จะได้\[
2I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} = \frac{\pi }{2}
\]
ดังนั้น
\[
\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \frac{\pi }{4}
\]

ลองให้ u = (a+b)x

อ่อเข้าใจแล้วครับต้องเปลี่ยนตัวแปรก่อนเหอๆ

ทำไมสรุปได้เลยว่า $\sin^7 x=\cos^7x $อ่ะครับ:confused:

มาเพิ่มให้้คับ

1) $\int ln(x^2+x+1)dx$
2) $\int\sqrt{25-x^2}dx$
3) $\int\frac{dx}{x^2-3x-10}dx$
4) $\int\frac{dx}{x\sqrt{4x^2-9}}$
5) $\int cos^5xdx$
6) $\int sin^7xdx$
7) $\int\frac{sinx}{cos^8x}dx$
8) $\int\frac{dx}{e^x+1}dx$
9) $\int\tan^4xdx$
10) $\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}dx}$
:):)

ข้อ8)ไม่มั่นใจ
$$\int \frac{dx}{e^x+1}=\ln |\frac{e^x}{e^x+1}|+c$$
edit:$e^{2x}>>e^x$

ผิดตรง $e^{2x}+1$ คับลองดูใหม่คับ

ข้อ3)
$$\int \frac{dx}{(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{7}{2})^2}=\frac{1}{7}\ln \frac{x-5}{x+2}+c$$

ดูเหมือนเครื่องหมายจะยังผิดอยู่นะคับ:kiki:

โอเคครับขอบคุณมากครับ
ปล.สงสัยผมจะมีเรื่องกับเครื่องหมายแล้วครับอิๆ

ไม่เป็นไรคับคนเราำำพลาดกันได้ ^^

ต่อครับ
2)
$$\int \sqrt{5^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2}+\frac{25}{2}\arcsin \frac{x}{5}+c$$
4)
$$2\int \frac{dx}{2x\sqrt{(2x)^2-3^2}}=\frac{2}{3} arcsec \frac{2x}{3}+c$$
ปล.ช่วยตรวจด้วยครับโดยเฉพาะเครื่องหมาย 555+

รอบนี้ไม่พลาดคับ:great: แต่พลาด ส.ป.ส แทนคับ:p

ข้อ10) ให้ $u=\sqrt{1-e^{2x}}$
$$-\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=-\arcsin u +c$$
$$=-\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}+c$$
ปล.ใช่หรือเปล่าครับ

มีความเห็นแค่นี้ครับ
ปล คุณ V.Rattanapon ใช้โปรแกรมอินทิเกรตหรือปล่าวหว่า ทำเร็วจัง คิคิ

มีมาอีกคับ ^^

$\int\frac{1}{\sqrt{t}}cos^2(\sqrt{t}+3)dt$

ปิรามิดสูง 3 เมตร มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ 3 เมตร ภาคตัดขวางของปิรามิดตั้งฉากกับแกนความสูงของปิรามิด โดยที่ความสูง X เมตร จากยอดของปิรามิด ฐานของปิรามิดจะมีความยาวด้านละ X เมตร จงหาปริมาตรของปิรามิดนี้

จงหาปริมาตรของรูปทรงตัน โดยที่รูปทรงตันวางอยู่ระหว่างระนาบที่ตั้งฉากกับแกน x ที่ x=-1 ถึง x=1 ภาคตัดขวางตั้งฉากกับแกน เป็นรูปจานวงกลม โดยมีเส้นผ่าศูนย์กลางเริ่มจากพาราโบลา $y=x^2$ ถึงพาราโบลา $y=2-x^2$

สงสัยจะมึนแล้วครับ:eek: บอกหน่อยครับพลาดตรงไหนหาไม่เจอแล้ว:cry::cry:
ปล.เหลือข้อตรีโกณกับ log ข้อนึง ผมไม่ถนัดอิอิ:happy:

ส.ป.ส ของข้อ4คับต้องเป็น $\frac{1}{3}$ คับ:)

อินทิเกรตสองตัวนี้มันสมมาตรกันครับ ดูได้จากกราฟครับ