IJSO ครั้งที่ 11 2557
 

เฉลย IJSO คณิตศาสตร์ 2557
1. C
2. D
3. A
4. B
5. D
6. B
7. C
8. A
9. B
10. B
11. B
12. B
13. B
14. D
15. A
16. A
17. D
18. D
19.B
20. B
21. C
22. A
23. C
24. ไม่แน่ใจ
25. B
ลองดูนะครับ ไว้ค่อยเฉลยเป็นข้อๆ

เอาข้อ 14 ก่อนแล้วกันนะครับ

พท ของเซ็คเตอร์ = \frac{A}{360}*\pi *r*r
ดัวนั้น

มุม A = พท ของเซ็คเตอร์*360/(\pi *r^2)

จะได้ 3 สมการ

A = a*360/(\pi *2^2); B =b*360/(\pi *3^3), C =c*360/(\pi *6^6)

มุมภายในสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา

180 = A + B + C = 360*(a/(\pi *4) +b/(\pi*9) + c/(\pi*36))

1 = 2*(a/(\pi *4) +b/(\pi*9) + c/(\pi*36))

1 = 2*(9*a + 4*b + c)/36*\pi

ดังนั้น

9*a + 4*b + c = 36*\pi /2 = 18*\pi

ตอบข้อ D

มีตัวข้อสอบหรือเปล่าครับ :)

มีข้อสอบนะคะ...แต่เอาลงไม่เป็น.... - -"

เริ่มได้แหล่ะ!!!...แต่ยังขนาดใหญ่ไปอีก!!!

ส่วนสุดท้ายค่ะ...^__^ ดีใจทำได้สำเร็จ!!!

ขอบคุณคุณกบแง้มกะลา สำหรับข้อสอบครับ. :great:

ข้อ 24. เนื่องจาก $A + B > \frac{\pi}{2} \Rightarrow A > \frac{\pi}{2} - B > 0$

แต่เนื่องจากในจตุภาคที่ 1 ค่าของไซน์เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

ดังนั้น $\sin A > \sin(\frac{\pi}{2} - B)$

หรือ $\sin A > \cos B$

จึงตอบ ข้อ ง. ครับ.

รบกวนท่านผู้รู้ทั้งหลาย ช่วยเฉลย ข้อ 12 ให้หน่อยครับผม

แต่ว่า. B+ C มันอยู่ในจตุภาคที่สองนะครับ

แก้แล้วครับ :p

เมื่อ $a= sin44.5\,^{\circ}$ ดังนั้น $a= cos45.5\,^{\circ}$
ดังนั้น $a^2 + b^2 = 1$ (สมบัติของ $sin^2{a} + cos^2{a} = 1$)

$\frac{(a+b)(1+a^4+b^4)}{2(1+ab)}$
$=\frac{(a+b)(1+(a^2+b^2)^2-2a^{2}b^2)}{2(1+ab)}$
$=\frac{(a+b)(2-2a^{2}b^2)}{2(1+ab)}$
$=\frac{2(a+b)(1+ab)(1-ab)}{2(1+ab)}$
$=(a+b)(1-ab)$
$=(a+b)({a^2}-ab+b^2)$
$=a^3 + b^3$

เฉลย IJSO คณิตศาสตร์ 2557(Dr. Scimath)
1. C
2. D
3. A
4. B
5. D
6. B
7. C
8. A
9. B
13. B
14. D
19.B
21. C
22. A
23. C
25. B

มีข้อที่คิดได้ไม่ตรงกันดังนี้
10. A (หา h, k แล้วพิจารณา ตามความเห็นที่ #15)
11. C (ตามความเห็นที่ #13 ด้านล่างครับ)
12. D (ต้องวาดรูป ตามความเห็นที่#12)
15. B เส้นทะแยงมุมที่ยาว คือ 2.cos (360/4n) เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
(วาดรูปให้ดูแล้วตามความเห็นที่#12)
16. D อัตราส่วน คือ 27 : (125-27) : (216-125) = 27 : 98 : 91
17. C (ต้องวาดรูป)
18. A ข้อนี้แปลกๆ ถ้าจะให้ตอบขอเลือกข้อ A เพราะว่า
-> h = 0, จะได้พื้นที่ผิวเป็น $\pi r^2$
-> h = r, จะได้พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลมเป็น $2\pi r^2$
จะให้ใช้วิธีอินทิเกรทหาพื้นที่ผิวคงไม่เหมาะสำหรับมอต้นนะครับ(ไม่ได้ใช้มา 27-28 ปีแล้ว)
-ได้ลงวิธีทำให้แล้วตามความเห็นที่#14 มันลืมเกือบหมดแล้ว
20. A (ส่วนที่พ้นน้ำรองรับมุม 90°, แล้วคิดพื้นที่หน้าตัด ตามความเห็นที่#12)
24. D (ตามที่คุณ gon เฉลย#6)

แนบรูปมาให้ดูประกอบครับ
Attachment 15606

$[AOC] = 40$ ตร.หน่วย, $[AOB] = 24$ ตร.หน่วย และ $[APQ]=15 $ ตร.หน่วย

ให้ $RO : AO = m : 1$ จะได้ $RO = m×AO$

จะได้ว่า $[ROC] = m×[AOC] = 40m$ และ $[BOR] = m×[AOB] = 24m$

ดังนั้น $[BOC] = [BOR]+[ROC] = 40m+24m = 64m$

และ $ [ABC] = [AOB]+[AOC]+[BOC] = 24+40+64m = 64+64m$

จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {[AOC]}{[AOC]+[BOC]} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $

และ $\frac {AP}{AC} =\frac {[AOB]}{[AOB]+[BOC]} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$

ดังนั้น $ [APQ] = 15 = [ABC]×(\frac{5}{5+8m})(\frac{3}{3+8m}) = \frac {15(64+64m)}{(5+8m)(3+8m)}$

$(5+8m)(3+8m) = (64+64m)$ --> $64 m^2 = 49$ --> $m = \frac{7}{8}$

ดังนั้น $[BOC] = 64m = 64×7/8 = 56$ ตารางหน่วย

11. ต้องตอบc ครับ ทั้งหมดมี11รูปดังนี้
5,3,4
10,6,8
13,12,5
15,12,9
17,15,8
20,12,16
25,15,20
25,24,7
26,24,10
29,21,20
30,24,18

ข้อ.18 ให้โดมนี้เป็นส่วนหนึ่งของครึ่งทรงกลมรัศมี R ดังนั้น
$R^2 = (R-h)^2+ r^2 = R^2 - 2Rh + h^2 + r^2$
$2hR = h^2+ r^2 $ --- (1)

พื้นที่ผิวด้านนอกของโดมนี้คือ
$A = \int_{0}^{\theta _r}2\pi (Rsin \theta)?R\,d\theta = -2\pi R^2 cos \theta
[^{cos\theta = (\frac {R-h}{R})}_{\cos\theta = 1} $
$A = -2\pi R^2 (\frac {R-h}{R}-1) = 2\pi R^2 (\frac{h}{R}) = 2 hR \pi = \pi(h^2+ r^2)$

มีรูปประกอบด้านล่าง แต่เขาใช้ a แทน r

Attachment 15634

ข้อ 10. จากสมการ $y = ax^2 + (2a-1)x + a$

สามารถจัดรูปได้เป็น $y = a(x+\frac{2a-1}{2a})^2 + \frac { 4a-1}{4a}$

จะได้ $h = - \frac{2a-1}{2a} = \frac{1-2a}{2a} \not= -1 $ และ $k = \frac{4a-1}{4a}\not= 1 $

A. ผิดครับ
B. $2k+ h = 1$ --> B ถูก
C. $(h+1)^2 = h^2+2h+1> 0$ , เพราะ $h \not= -1$ --> C ถูก
D. $(k-1)^2 = k^2-2k+1> 0$ , เพราะ $h \not= 1$ --> D ถูก

เอารูปข้อ 17 มาลงให้ครับ

Attachment 15633

รบกวนข้อ 21 ด้วยครับ
 

รบกวนท่านผู้รู้อธิบายข้อ 21 ด้วยครับ

$$tan 89.9^\circ = \frac{sin(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800}) }{cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800})} $$

ประมาณด้วยค่าเชิงอนุพันธ์

$$f(x) = sin x \Rightarrow \acute f (x) = cos x$$

$$f(x) \approx f(x_0) + \acute f (x_0)dx$$

$$sin \frac{\pi }{2} + (cos \frac{\pi }{2})(\frac{-\pi }{1800}) = 1$$

$$g(x) = cos x \Rightarrow \acute g (x) = -sin x$$

$$g(x) \approx g(x_0) + \acute g (x_0)dx$$

$$cos \frac{\pi }{2} + (-sin \frac{\pi }{2})(\frac{-\pi }{1800}) = \frac{\pi }{1800}$$


$$\therefore \frac{sin(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800}) }{cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800})} = \frac{1}{\frac{\pi }{1800}} = \frac{1800}{\pi }$$

ขอบคุณครับคุณ yellow

ข้อ 21 ขอเสริมแบบประมาณค่าง่ายๆ อีกวิธีครับ

tan 89.9° = cot 0.1° = cos 0.1÷ sin0.1 ----(1)

เนื่องจากมุม 0.1° = 0.1×$\frac{\pi}{180}$ = $\frac{\pi}{1800}$ มีค่าใกล้ 0°

ดังนั้น cos 0.1° ~ 1; sin 0.1° ~ $\frac{\pi}{1800}$

แทนลงในสมการ (1) ได้ tan 89.9° = 1÷ $\frac{\pi}{1800}$ =$\frac{1800}{\pi}$

ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่งไล่นับไปเรื่อยๆ หรือคะ มีหลักอะไรเป็นเทคนิคนอกเหนือจากนี้ไหมคะ ขอบคุณค่ะ

อัตราส่วนสองอันนี้ ดูไม่ออกครับว่าเทียบ สามเหลี่ยมอันไหนกับอันไหน
จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $ และ
$\frac {AP}{AC} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$

ได้เพิ่มเติมรายละเอียดให้แล้วครับ

หรือพิจารณา $AQ : QB : AB = [AOC] : [BOC] : ([AOC]+[BOC]) = 40 : 64m : (40+64m)$

ขอบคุณครับ
รบกวนถามต่อครับ
แล้วข้อ 5 นี่ ต้องทำส่วน ในรูป a^2 - b^2 ก่อนรึเปล่าครับ แต่พอคูณเศษด้วย วงเล็บเยอะจนมึนไปเลยครับ

รอเฉลยแนวคิดเป็นข้อด้วยคนครับ :please::please:

AQ ไม่ใช่ด้านบน AOC
QB ไม่ใช่ด้านบน BOC
AB ไม่ใช่ด้านบน AOC+BOC
นำมาคิดแบบนี้ได้ด้วยหรือคะ
รบกวนคุณ Puriwatt อธิบายเพิ่มเติมอีกนิดค่ะ ขอบคุณค่ะ

ข้อ 22 แปลงค่าออกมาได้ตามรูปค่ะ
แต่จะพิจารณาได้อย่างไรว่า ทำไมข้อ A จึงน้อยที่สุด
ขอบคุณค่ะ:D:happy:

คิดแบบนี้ได้ครับ ทำบ่อยๆก็จะเข้าใจได้ง่ายขึ้น
เป็นการแปลงจากหลักของยุคลิด ที่ว่าสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน
จะมีขนาดพื้นที่แปรเป็นสัดส่วนโดยตรงตามขนาดของความยาวฐาน
ดังนั้นสามเหลี่ยม ACB กับ AOB อยู่บนฐานเดียวกันคือเส้นตรง AB
และลากต่อเส้น CO มาตัดกับฐาน AB ที่จุด Q จะสรุปได้ดังนี้
(ให้ความสูงจากจุด C และ O จากเส้นตรง AB เป็น H และ h ตาลำดับ)

1. [AOQ] = AQ×h/2, [ACQ] = AQ×H/2 --> [ACO] = AQ×(H-h)/2
2. [BOQ] = BQ×h/2, [BCQ] = BQ×H/2 --> [BCO] = BQ×(H-h)/2

จะเห็นได้ว่าจะจับคู่ไหนก็ได้อัตราส่วนเดียวกันทั้งหมดครับ

ขอบคุณมากๆ ค่ะ:)

ถ้าไม่อยากคูณเศษส่วนจนมึนก็คงต้องรู้จักเอกลักษณ์นี้แล้วมั้งครับ

$\frac{a^2(x-b)(x-c)}{(b-a)(c-a)} -\frac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-a)(c-b)}+\frac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$

คิดว่าตอบไปแล้ว มาเปิดดูกลับยังไม่ได้ตอบ 555

ในกรณีที่ $ 0 < a < 1$ นั้น เราพบว่า $a^2 < a < \sqrt{a}$ และ $(1-\sqrt{a}) < (1-a) < (1- a^2)$

และ $ 0 < sin 89° < 1 $ ดังนั้น $ (1 - \sqrt {sin 89°}) < (1- sin 89°) < (1- sin^2 89°)$

และจาก $ 0 < (1-sin^2 89°) < 1$ จะได้ว่า $ (1-sin^2 89°) < \sqrt {1-sin^2 89°} $

โห มีแบบนี้ด้วย :sung:
ความรู้ใหม่เช่นกัน ขอบคุณมากค่ะ

ขอบคุณค่ะ: :great:
เก็บเข้าเมโมรี่ทันทีเลย

ข้อ 6 กรณีไหนที่ข้อ C ไม่เป็นจริงอะครับ

a=-7 b=1 c=3 ไดว่า 49>9 ครับ