PAT 1 ปีนี้ที่ว่ายาก...
 

ไม่ได้มีข้อสอบตัวจริง เห็นในบอร์ดของพันทิพกับเด็กดี เลยพยายามแปลงมาให้ช่วยกันดูว่า เขาออกโหดส่งท้ายหรือเปล่า
ไม่ได้เรียงตามข้อและโจทย์ที่ได้มาอาจจะผิดเพราะต่างจำเอามาโพสกัน
1.กำหนดให้
$f(2x-5) = 2x+3$
$f(f'(f''(2553)))$มีค่าเท่าไหร่

2.กำหนดให้
$T= sin\theta +cos^2\theta+sin^3\theta+cos^4\theta+...$
จงหาค่าของ$3T(\frac{\pi }{3} )$
ข้อนี้บางคนบอกว่าโจทย์เป็น $T= sin\theta -cos^2\theta+sin^3\theta-cos^4\theta+...$
จงหาค่าของ$3T(3\pi )$
โจทย์น่าจะเป็นการกำหนดฟังก์ชั่นของ$T(\theta) = sin\theta -cos^2\theta+sin^3\theta-cos^4\theta+...$ แล้วถามถึงค่าของฟังก์ชั่น$3T(3\pi )$

3.$n(A U B U C)= 103$
$n(A) + n(B)+n(C) = 302$
จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $n(A \cap B \cap C)$

4.$a<b<c<d<e<f$
$\left\{\,a,b,c,d,e,f\right\} $
ผลบวกของเลข2ตัว มี 37 50 67 72 ....ผลบวกน่าจะมีมากกว่านี้แต่ในกระทู้เขาจำได้ไม่หมด รู้สึกว่ามี 15 ค่า
$ c+d = ??????$

5.จุด $A(1,0),\quad B(b,0)$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง
มีเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-1,0) $มีความชัน$ \frac{4}{3} $สัมผัสกับวงกลมนี้ ถามว่า$ b$ คือเท่าไร

6.นำตัวเลขสี่ตัวคืิอ $3,4,6,7$มาเรียงกันเป็นเลขสี่หลัก จงหาว่ามีเลขสี่หลักกี่จำนวนที่$44$หารไม่ลงตัว

7.จงหาค่าของ $sin1^0sin3^0sin5^0...sin89^0$.....ข้อนี้คุ้นๆว่ามีคนเคยเอามาถามในMC น่่าจะเป็นข้อสอบเก่า
...เขาว่าโจทย์จริงๆเป็น
$sin1^0sin3^0sin5^0...sin89^0 =\frac{1}{2^n} $ จงหาค่าของ $4n$

8.$5(sinA+cosA)+2sincosA= 0.04 $ จงหาค่าของ $125sin^3A+cos^3A+25sinAcosA$

9.จำนวน 3 จำนวนเรียงกัน คูณกันได้ 343 บวกกันได้ 57 จำนวนที่มากที่สุดในสามจำนวนคือ?

10.ให้ $F(-100) = 15000$ และ $F(n+1) = F(n) +3n +2$
จงหาค่าของ $F(0)$

11.จงหาค่าของ$\dfrac{[ tan(arccot\frac{1}{3} +arccot\frac{1}{5} +arctan \frac{7}{9} ) ] }{sin ( arcsin \frac{5}{13} + arcsin \frac{12}{13}) }$

12.จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากจุด $A(-2,3) ,B(2,8) ,C(4,4), D(0,-2)$

13.กำหนดให้อนุกรมมี$a_{15} -a_{13} = 3$
,ผลบวก$m$พจน์เท่ากับ $350$ และผลบวก$4m$พจน์เท่ากับ$ 4900$
ถามว่าพจน์ที่ $2m$เท่ากับข้อใด
$(1) \frac{61}{2} \quad (2) \frac{121}{3} \quad (3) \frac{125}{2} \quad (4) 119 $

14.ให้เปอร์เซนต์ไทล์ที่50 กับฐานนิยมมาแล้วให้หาค่าเฉลี่ย.....

ตอบ $96$ ครับ

ยากจริงๆครับ
S.D. , mean (and n(max)) คงจะหดหู่ :aah:

ดูโจทย์คร่าวๆ จะบอกว่าสีทนได้ +555 ก็ OK ครับ
จะบอกว่าข้อ 10 นั้นคล้ายกับข้อสอบ สสวท รอบที่1 ปี 2549 ซึ่งถามว่า
ถ้า $f: I\rightarrow I$ เป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกับ
$f(-100) = 15000$ และ $f(n) = f(n+1) -3n -2$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$
จงหาค่าของ $f(0)$
ข้อ 4 โจทย์กำหนดแค่นี้หรือครับ เป็นจำนวนเต็มหรือเปล่า ผมว่าน่าจะมีข้อมูลมากกว่านี้ ไม่งั้นคงต้องดูตัวเลือกช่วยแล้วครับ

น้องๆที่ไปสอบในบอร์ดเด็กดีบอกว่า...ทำไม่ได้ คนที่ทำได้ก็บอกว่าทำไม่ทัน ให้เวลาสามชั่วโมงน้อยไป
บางคนบอกว่าเขาหยิบข้อสอบผิดหรือเปล่า นี่มันข้อสอบคัดตัวสสวท.หรือโอลิมปิกมากกว่า
มีสปายเด็กโข่งแอบเข้าไปสอบ เป็นติวเตอร์ บอกว่าเข้าสอบหลายปีแล้วปีนี้ยากที่ซู้ดดดด..
.น่าจะเอาข้อมูลไปช่วยเน้นประชาสัมพันธ์คอร์สติวในช่วงสอบเดือนมีนาแน่ๆเลย55555
โจทย์อาจไม่สมบูรณ์เพราะเป็นการจำออกมา ข้อไหนคิดว่าโจทย์ผิดก็บอกได้ครับ แต่ผมยังไม่ได้ทำ ลองอ่านๆบอร์ดแล้วแคะออกมาให้ดูกัน

ตอบ 9 หรือเปล่าครับ

hint มันเป็นอนุกรมเรขาคณิต 2 ชุด

ข้อ5 ผมได้ $b=17,-\frac{7}{9} $
ถ้าดูจากครั้งที่ผ่าน ๆ มา ข้อที่เหลืออาจจะไม่ยากก็ได้ครับ

ข้อ 1)
$f(2x-5)=2x+3$ ให้ $2x-5=a$---->$x=\frac{a+5}{2}$
ดังนั้น $f(2(\frac{a+5}{2})-5)=2(\frac{a+5}{2})+3$
$f(a)=a+8$---->$f(x)=x+8$
$f''(x)=0$ , $f'(x)=1$
$f(f'(f''(2553)))=f(f'(0))=f(1)=1+8=9$

มาแถมครับ ไปสอบมาเหมือนกัน อู๊ย... มีแต่ข้อหินๆ ข้อง่ายก็ถึก ข้อยากก็ยากเกิน คงวัดอะไรได้ยากน่ะครับ
อาจจะมีการผิดพลาดบ้างเนื่องจากจำมาจากห้องสอบ ก็ขออภัยมาล่วงหน้าแล้วกันครับ

- ให้ $a_{1}=2$ และ $a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\left(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\right) $ สำหรับทุกจำนวนนับ $n>1$
จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}$

- ให้ $$S_{n}=\sum_{k = 1}^{n} k^3$$ จงหาค่าของ $$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{S_n} } $$

-จงหาค่าของ $$\sum_{n = 1}^{9999}\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1} \right)\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n-1} \right) } $$

สำหรับโจทย์ที่โพสก่อนหน้า
ข้อ 4 มีผลบวกทั้งหมด 15 ตัวมาให้ บวกเลขกันตาเหลือกเลยครับ :eek:
ข้อ 5 b>0
ข้อ 6 ใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกัน
ข้อ 9 เป็นอนุกรมเรขาคณิต
ข้อ 14 ผมจำได้ลางๆ ว่าเค้าให้คะแนนเฉลี่ยของห้อง A มา ให้เปอร์เซนไทล์ที่ 50, ฐานนิยม กับจำนวนคนในห้อง B แล้วให้หาคะแนนเฉลี่ยของห้อง B มั้งครับ

ข้อ 2)
$T=(sin\theta+sin^3\theta+...)+(cos^2\theta+cos^4\theta+...)$
$T=\frac{sin\theta}{1-sin^2\theta}+\frac{cos^2\theta}{1-cos^2\theta}$
$T=\frac{sin^3\theta+cos^4\theta}{sin^2\theta cos^2\theta}$
$3T(\frac{\pi}{3})=3\bigg[\frac{sin^3(\frac{\pi}{3})+cos^4(\frac{\pi}{3})}{sin^2(\frac{\pi}{3})cos^2(\frac{\pi}{3})}\bigg]$
$3T(\frac{\pi}{3})=3\bigg[\frac{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^3+{(\frac{1}{2})}^4}{(\frac{3}{4})(\frac{1}{4})}\bigg]$
$3T(\frac{\pi}{3})=6\sqrt{3}+1$

ขอรบกวนคุณ nooonuii ด้วยครับ
คำตอบเป็น 0 เลยไม่ได้เหรอครับ:please:

จากรูปจะได้ว่า

$a+b+c+d+e+f+x=103$____________(1)

$a+b+c+2(d+e+f)+3x=302$_________(2)

2$\times$ (1); $2(a+b+c)+2(d+e+f)+2x=206$___________(3)

(2)-(3); $x-(a+b+c)=96$

$x=a+b+c+96\geq 96$

สมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=0,d+e+f=7$

ขอบคุณมากครับ ผมทำคล้ายๆคุณ nooonuii ครับ
แต่ไม่ได้กำจัด d,e,f ไปกำจัด a,b,c เลยได้ x=199-(d+e+f) ครับ
เลยทำให้คิดว่า x น้อยสุดคือ 0

เลข 3,4,6,7 เรียงสับเปลี่ยนได้ 24 วิธีดังนั้นจะมีเลขสี่หลักทั้งหมด 24 ตัว
จะหาว่ามีกี่ตัวที่หารด้วย 44 ลงตัว
เนื่องจาก 44 คูณจำนวนนับใดๆจะลงท้ายด้วย 4,8,2,6,0 ดังนั้นจำนวนที่พิจารณา คือ
3746,3476,3674,3764
4376,4736
6734,6374
7364,7634,7436,7346
ปรากฏว่ามีแค่ 2 จำนวนที่หารด้วย 44 ลงตัว คือ3476 และ 7436
ดังนั้นจำนวนที่หารด้วย 44 ไม่ลงตัวคือ 24-2=22 จำนวน

ซวยเลยตอนสอบผมตอบ 97ไป:cry:

ถ้าคำว่า " 3 จำนวนเรียงกัน" หมายถึง เรียงติดกัน เช่น x, x+1, x+2 ก็จะไม่มี 3 จำนวนที่ว่า

ถ้า 3 จำนวนนั้นเรียงจากน้อยไปมาก ก็พอจะหาได้ โดยแยกตัวประกอบของ 343

343 = 1x7x7x7 = 1 x 7 x 49

1+7+49 = 57

1 x 7 x 49 = 343

ดังนั้นจำนวนที่มากที่สุดคือ 49

Attachment 4335


พื้นที่สี่เหลี่ยม = (10 X 6) - (4+10+5+12) = 29 ตารางหน่วย

ถ้าแบบนี้จะได้ค่าสูงสุดแทนครับ แต่สรุปหาค่าต่ำสุดไม่ได้

ขอบคุณคุณ nooonuii มากครับ
จาก $F(n+1)=F(n)+3n+2$ จะได้ $F(n+1)-F(n)=3n+2$ ดังนั้น
$F(0)-F(-1)=-1$
$F(-1)-F(-2)=-4$
$F(-2)-F(-3)=-7$
.
.
.
$F(-99)-F(-100)=-298$
นำทุกสมการบวกกันจะได้
$F(0)-F(-100)=\frac{100}{2}(-299)$
$F(0)=15000-14950=50$

ขอถามข้อนี้หน่อยครับ คิดไม่ออกจริงๆ

ข้อสอบครั้งนี้ยากกว่าครั้งที่ผ่านๆมามากเลย
แถมบางข้อที่พอง่ายหน่อยก็ทึกอีก ครั้งนี้พร้อมสุด แต่มาเจอข้อสอบยากสุดเลย T_T

ข้อ 1 อีกวิธีนะครับ หาอนุพันธ์เลย ใช้ความรู้เรื่องกฎลูกโซ่

f(2x-5) = 2x+3
f'(2x-5) * (2x-5)' = (2x+3)'
f'(2x-5) = 1
f"(2x-5) = 0
ดังนั้น f(f'(f"(2553))) = f(f'(0)) = f(1) = f(2(3)-5) = 2(3)+3 = 9

$sin1^0sin3^0sin5^0...sin89^0$
=$\frac{sin1^0sin2^0sin3^0sin4^0...sin89^0}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0} $
=$\frac{sin1^0cos1^0sin2^0cos2^0...sin44^0cos44^0sin45^0}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0}$ (เปลี่ยน $sin89^0$ เป็น $cos1^0$ ย้อนกลับจากหลังไปหน้าเรื่อย ๆ ไป)
=$\frac{1}{2^{44}}\cdot \frac{(2sin1^0cos1^0)(2sin2^0cos2^0)...(2sin44^0cos44^0)(sin45^0)}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0}$
=$\frac{1}{2^{44}}\cdot \frac{(sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0)(sin45^0)}{sin2^0sin4^0sin6^0...sin88^0}$
=$\frac{1}{2^{44}}\cdot sin45^0$
=$\frac{1}{2^{44.5}}$
$\therefore n=44.5,4n=178$
หมายเหตุ พิมพ์ยังไม่คล่อง เดี๋ยวเป็นตัวเล็กเดี๋ยวเป็นตัวใหญ่ ต้องไปอ่านวิธีพิมพ์เพิ่มอีกแล้ว

ขอบคุณทุกท่านที่เข้ามาช่วยทำช่วยออกความเห็น...พอดีช่วงนี้เจ้าตัวเล็กนอนเร็ว ผมก็เลยต้องเข้านอนพร้อมกัน
วันก่อนแอบแว๊ปมาตั้งกระทู้
ไม่ได้ช่วยทำอะไรเลย....จดโจทย์ไปก็ยังไม่ได้ทำตั้งหลายข้อ

11.จงหาค่าของ$\dfrac{[ tan(arccot\frac{1}{3} +arccot\frac{1}{5} +arctan \frac{7}{9} ) ] }{sin ( arcsin \frac{5}{13} + arcsin \frac{12}{13}) }$

แปลง $arccotn = arctan\frac{1}{n}$

ได้ $tan({arctan 3} + arctan{5} + arctan\frac{7}{9})$

หามุมของ $arctan3 + arctan5 = arctan{\frac{8}{-14}}$

มุมของ $arctan\frac{-8}{14} + arctan\frac{7}{9} = arctan(\frac{9}{63})$

ตามโจทย์ sin ด้านล่างจะได้ค่า = 1

$\therefore$ ANS. = $\frac{1}{7}$ ครับ

ข้อ 13 รบกวนท่านอื่นมาชี้แนะด้วยครับ

$a_15 - a _ 13 = 3$

$ d = \frac{3}{2}$

ผลบวก m พจน์ $\frac{(m)(2a_1 + (m-1)(1.5))}{2}= 350 ---(* )$

ผลบวก 4m พจน์ $\frac{(4m)(2a_1 + (4m-1)(1.5))}{2} = 4900$ ----(**)

$(** )\div (*) 14 = \frac{4(2a_1 + (4n-1)(1.5))}{2a_1 + (m-1)(1.5)}$

$20a_1 = 3m - 3$

นำกลับไปแทนใน (*)

ได้สมการ $18m^2 - 18m - 7000 = 0$ แล้วก็ไปต่อไม่ถูกแล้วครับ

ข้อนี้โจทย์ต้องเป็น

$T= sin\theta -cos^2\theta+sin^3\theta-cos^4\theta+...$
จงหาค่าของ$3T(3\pi )$

ข้อ 8. กำหนดให้ 5(sinA+cosA)+2sincosA=0.04 จงหาค่าของ $125sin^3A+cos^3A+25sinAcosA$

เริ่มไงดีครับ ดูเหมือนง่าย แต่ทำจริงๆ แล้วไปต่อไม่ถูกเลย :(

ให้ $sinA+cosA = x$
$(sinA+cosA)^{2}=x^{2}$
$2sincosA = x^{2}-1$
แทนค่าลงในโจทย์
$5x+x^{2}-1=0.04$
$25x^{2}+125x-26=0$
$(5x-1)(5x+26)=0$
$x=\frac{1}{5}$ อีกค่าใช้ไม่ได้
$\therefore sinA+cosA = \frac{1}{5}$
$sinAcosA=\frac{-12}{25}$

ขอแก้คำถามเป็น $125(sin^3A+cos^3A)+25sinAcosA$ เพราะคำตอบสวยกว่า
${125[(sinA+cosA)(sin^2A-sinAcosA+cos^2A)]}+25sinAcosA$
$=125(\frac{1}{5})(1+\frac{12}{25})+25(\frac{-12}{25})$
$=37-12=25 Ans$:blood:

ข้อ 8 ผมก็ใช้วิธีเดียวกันกับคุณMathematicism
คือหา$sinA+cosA$ ก่อน
แต่ถ้าโจทย์ถาม$125sin^3A+cos^3A+25sinAcosA$
โจทย์ติดรูทอีรุงตุงนัง...ไม่สวยเลยครับ
โจทย์น่าจะเป็นอย่างที่คุณMathematicismว่ามากกว่า

ขอบคุณมากๆ ครับ งงตรงที่โจทย์ถามเหมือนกันครับ

ผมแปลง$a_1+a_2+..+a_n= a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$
$=na_1+d(1+2+3+...+(n-2)+(n-1))$
$=na_1+\frac{d}{2}(n(n-1)) $

ผลบวก m พจน์ $=350= ma_1+\frac{md}{2}(m-1)$

$4ma_1 + 2m^2d-2md=1400$ ---(* )

ผลบวก 4m พจน์ $=4900=4ma_1 + 8m^2d-2md$ ----(**)

แทน(* )ใน(* ) $1400+6m^2d=4900$

$m^2=\frac{3500}{9} $.....ถอดรูทแล้วค่า$m$ เป็นค่าติดรูท แสดงว่าที่น่าจะผิดคือโจทย์ครับ

ถ้าอย่างนี้ แปลว่าโจทย์ผิดหรือผมผิดกันแน่ครับเนี่ย :(

$a_{2m} = a_1+(2m-1)d$
จาก$20a_1 = 3m - 3 \rightarrow m= \frac{20a_1 }{3}+1 $
$a_{2m} = a_1+(3(\frac{20a_1 }{3}+1)-\frac{3}{2}) $
$= a_1+20a_1+\frac{3}{2} = 21a_1+\frac{3}{2} $
เดี๋ยวมาคิดต่อครับ
จาก$18m^2−18m−7000=0 \rightarrow 9m^2−9m−3500=0$
$m=\frac{9\pm \sqrt{126081} }{18} $
$m= \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{14009}}{2}$
$m\approx 30$

ทำไมสมการเป็นจริงเมื่อa=b=c=0,d+e+f=7 ไม่เข้าใจครับ

สมการคือ $a+b+c+96=96$ ดังนั้น $a+b+c=0$ ครับ
และจะได้ $x=96$ นำไปแทนในสมการ (3) ครับ