ขอความช่วยเหลือ: Number Theory Project
 

ตอนนี้ผมกำลังหาหัวข้อเรื่องในการทำปัญหาพิเศษ
อยากให้พี่ๆช่วยแนะนำเรื่องในการทำปัญหาพิเศษหน่อยครับ
ผมอยากได้เรื่องเกี่ยวกับ Number Theory ครับ

Edit หัวข้อให้ชัดเจนกว่าเดิมครับ

หนังสือ ของ สอวน ก็มีนะครับเรื่องนี้ หรือว่า เข้าไปที่เว็บวิชาการ จะมีกระทู้คณิตที่เฉลยทฤษฎีจำนวนของสอวนอยู่นะ ไม่งั้นก็ดูในหนังสือม.4เทอม1แต่รู้สึกว่าไม่ค่อยหนำใจเท่าไร

บอกว่าปัญหาพิเศษก็ดูจะกว้างอยุ่นะครับ น่าจะเอาไปเป็น presentation เพื่อสัมมนา รึเปล่าครับ?
อันนี้เป็นความคิดผมเองคือ อาจจะมีแล้วแต่ผมยังไม่เคยเห็น(และผมอยากรู้เอง 55) ก็เป็นวิวัฒนาการของ ทฤษฏีจำนวน ตั้งแต่เริ่มต้นจากอะไร และมีนักคณิตศาสตร์ที่เริ่มศึกษากันอย่างเป็นระบบ และ เรื่องอะไรบ้าง ไม่รู้ว่าใช้ได้รึเปล่า แหะๆ

ตอนนี้ผมเรียน ปี 4 ครับต้องทำปัญหาพิเศษ คือ อาจจะเป้นทฤษฎี ใหม่ๆๆ หรือ อาจจะศึกษาต่อจากpaper ครับ ผมคิดไม่ออกอ่า อย่าง เช่น คำตอบของ 3/n=(1/a)+(1/b)+(1/c) เมื่อ nเป็นจำนวนเต็มคี่ ที่หารด้วย 3ไม่ลงตัว และ a b c เป็นเต็มบวก จะได้คำตอบ แบบแรก คือ .... จำไม่ได้อ่า เป็งสัมมนาเพื่อน แอบดูมันมา

ถ้าจะถามเรื่อง paper ทางคณิตศาสตร์ผมก็ไม่รู้แล้วล่ะครับ อิอิ ถึงได้ถามก่อนว่าจะเอาไปทำ presentation อะไรซักอย่างใช่รึเปล่า? ก็รอท่านอื่นๆมาเสนอกันต่อไป

เว็บนี้เลยครับ. arxiv

ไม่ทราบคุณ shin ยังสนใจจะทำทาง number theory อยู่มั้ย หรือว่าเปลี่ยนไปทำเรื่อง matrix แล้ว พอดีวันนี้ผมนึกเรื่องเกี่ยวกับ Sierpinski number ที่ไม่ง่ายไม่ยากจนเกินไปได้ ถ้าสนใจก็บอกมาได้นะครับ

สนใจครับ เพราะตอนนี้ผมก็กำลังทำเมตริกก็ ติดยุ่งไปหมดครับ กำหนดส่งก็มกราคม แต่ยังไม่ถึงไหนเลยครับพี่ ตอนนี้ยังไงก็ได้ครับ ผมจะไม่จบอยู่แล้ว 555 เด็กมข.เศร้า

เป็นการพิสูจน์ว่ามี Sierpinski number อยู่เป็นอนันต์ครับ outline ของการพิสูจน์มันอยู่ในรูปของโจทย์ดังนี้

Denote by $F_k$ the $k$-th Fermat number, i.e. $F_k=2^{2^k}+1$.

1. Show that $F_k$ is prime for $0\le k\le4$ but that $641\mid F_5$.

2. Let $h>1$ be an integer such that $$h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}.$$ If $h\cdot2^n+1$ is prime, show that $32\mid n$.

3. Conclude that there exists an integer $a$ such that if $$h\equiv a\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4F_5}$$ and $h>1$, then for all $n\in\mathbb N$, $h\cdot2^n+1$ is composite.

ก็ทำไปละกันนะครับ ติดตรงไหนค่อยมาว่ากันอีกที ส่วนความรู้พื้นฐานทั่วไปเกี่ยวกับ Sierpinski number ก็หาได้จากกระทู้ของผมอันนั้น และจากเน็ต เช่น Wikipedia แต่อย่าใช้ของ MathWorld นะครับ เพราะนิยามที่นั่นไม่ใช่อันมาตรฐานที่คนอื่นเขาใช้กัน

ขอบคุณครับ จะทำให้เร็วที่สุดนะครับ แต่เสา อาทิตนี้ผมมีสอบที่จุฬา ไปสอบ CU-TEP เก็บไว้สอบต่อโทรเดือนมกรา แฮ่ๆๆ ป.ตรียังจะไม่จบหวังจุฬา
ผมจะพยายามครับบบ

ข้อ 1 พอไหวครับ สำหรับ F5 ใช้ 5 X $2^7$ บ-1 (mod641) ยกกำลังสี่ ครับ
พอข้อ 2 ไม่รู้จะไปทางไหนดีครับพี่ หรือจะเขียน n=32q+r เมื่อ 0ฃ r<32 แล้วก็พิสูจน์ ว่า r = 0แต่ก็ไปไม่รอด ครับ แนะด้วยครับ

First, try to prove that for each integer $r,\, 1\le r\le31$, the number $2^r+1$ is divisible by some $F_k,\, 0\le k\le4$. Do not use exhaustive calculation; there is a better way.

ข้อ 2. ผมทำตามที่พี่แนะนำ แต่ผมไม่เข้าใจครับว่า ผมพิสูจน์ได้ว่า
ถ้า 1ฃ r ฃ 31 แล้ว $2^r$+1บ 0 (mod $F_k$) บาง 0ฃ k ฃ 4 มันจะเกี่ยวข้องกับข้างต้นที่พิสูจน์ยังไงครับ

.................ผมเข้าใจแล้วครับพี่.......................
ข้อ2. ผมเริ่มยังงี้ครับ
พิสูจน์ :
สมมติ h.$2^n$ +1 เป็นจำนวนเฉพาะ
ให้ n = 32q+r บางจำนวนเต็ม r ที่ 0 ฃ r ฃ 31
สมมติ r น 0 \ 1 ฃ r ฃ 31
จาก hบ 1 (mod $F_5$ -2 )
ดังนั้น h.$2^ n$ +1 บ $2^n$ +1 (mod $F_5$ -2 )
บ $2^{32q+r}$+1 (mod $F_5$ -2 )
บ $2^r$ +1 (mod $F_5$ -2 )
นั่นคือ h.$2^ n$ +1 =( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($2^r$ +1) ...........................(*)
คาดว่า
"สำหรับ 1 ฃ r ฃ 31 แล้ว $2^r$+1 บ 0 (mod $F_k$) บางจำนวนเต็ม k ที่ 0 ฃ k ฃ 4 "
กรณี r= 2t +1 เมื่อ t = 0,1,...,15
จะได้ $2^r$+1 บ $2^{ 2t+1}$ +1 (mod $F_0$)
บ $2^{ 2t+1}$ +1 (mod $F_0$)
บ $2^1$ +1 (mod$F_0$)
บ 0 (mod $F_0$)

ดังนั้น $2^r$+1 = $F_0$.w บาง w เป็นจำนวนเต็ม
จาก (*) จะได้ h.$2^ n$ +1 =( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($2^r$ +1)
=( $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+($F_0$.w)
=[$F_0$].[( $F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$).y+w]
ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง กับ h.$2^ n$ +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

กรณี อื่นๆ ก็เหมือนกันครับ
ดังนั้น 32 l n
ขอบคุณครับ
.................................................................../////..................................
ข้อ3 แนะนำหน่อยครับ แฮ่ๆๆๆ
***ผมขอถามล่วงหน้าไปเลยนะครับว่า ถ้าพิสูจน์ได้ทั้ง 3 ข้อแล้ว นี่เพียงพอกับการที่จะแสดงว่า มีจำวนว Sierpinski numberที่เป็นจำนวนประกอบ เป็นอนันต์ แล้วเหรอครับพี่

สัมพันธ์กันอย่างงี้ครับ $$x\equiv y\pmod{mn} \quad \Rightarrow \quad x\equiv y\pmod m$$ ถ้าเขียนแทน $F_0F_1F_2F_3F_4$ ด้วย $F_5-2$ จะทำให้มองเห็นความสัมพันธ์อันนี้ได้ยากครับ

ส่วนเรื่องที่ผมให้พิสูจน์นั้น ให้เขียน $r$ ในรูป $s\cdot2^k$ โดยที่ $s$ เป็นจำนวนคี่ แล้วพิจารณา $2^r+1$ ดูอีกทีครับ

อย่าสับสน Sierpinski number (ซึ่งคือ $h$) กับ $h\cdot2^n+1$ นะครับ เราไม่ค่อยจะแคร์กับที่ Sierpinski number จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ แต่จากการพิสูจน์นี้ ถ้าจะทำต่อก็สามารถบอกได้ครับว่า มี Sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ และที่เป็นจำนวนประกอบ อยู่เป็นอนันต์ทั้งสองแบบ

Hint ของข้อ 3. ก็คือ พยายามเลือก $h$ ให้ $h\cdot2^n+1$ เป็นจำนวนประกอบเมื่อ $32\mid n$ โดยบังคับให้ $h\cdot2^n+1$ หารด้วยตัวประกอบของ $F_5$ ลงตัว ลองดูนะครับ

1.) พี่ครับข้อ 3. ผมไม่เข้าใจโจทย์ครับ ถ้าเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ยังงี้ไหมครับ
"h > 1 $ aฮ Z , hบ a (mod $F_{ 0 }$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) ฎ h.$2^n$+1 is composite for all nฮ N

หรือจะเป็น
$ aฮ Z "h > 1 , hบ a (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) ฎ h.$2^n$+1 is composite for all nฮ N


2.) ถ้าเราพิสูจน์ได้ 3 ข้อนี้แล้ว แสดงว่า เราพิสูจน์ว่า มีจำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนประกอบ อยู่เป็นจำนวนอนันต์ ไหมครับ

3.) โปรเจค นี้ มุ่งไปสู่ปัญหาอะไร เหรอครับ

1. แบบหลังครับ
2. ตอบไปก่อนหน้านี้แล้วครับ แต่ก็อย่างที่บอกคือ นี่ไม่ใช่ประเด็นที่เรากำลังสนใจ (หวังว่าตอนนี้น้อง shinn คงทราบแล้วนะครับว่า Sierpinski number คืออะไร ผมเริ่มเป็นห่วงละ :unsure: )
3. ปัญหาว่ามี Sierpinski number อยู่เป็นอนันต์หรือไม่ไงครับ

เห็นคุณ shin บอกว่าจะไปสอบ CUTEP มีโครงการเรียนต่อที่จุฬาเหรอครับ บอกได้ไหมครับว่าคณะอะไร? อิอิ

เรียน วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ ครับ ต่อโท ครับ 5555 ผ่าน CU-TEP แล้วด้วยพี่ รอสอบ math วันที่ 25-28 ม.ค. ครับ แต่ผมอยากเรียน เชียงใหม่ครับ กลัวไม่ติดที่เชียงใหม่เลย ลองที่จุฬา ก่อนครับ
เผื่อมีดวง กับเค้าบ้าง

ดีครับๆ ผมแวะเวียนแถวนั้นบ่อยๆ เผื่อมีโอกาสเจอกัน :D

คำถาม
1. มีคนพิสูจน์ได้แล้วใช่ไหมครับว่า
"มีจำนวน sierpinski number(ที่เป็นจำนวนประกอบ)เป็นจำนวนอนันต์"

2.โปรเจค ตอนนี้คือ ต้องเป็นความรู้ใหม่ที่ยังไม่มีคนพิสูจน์ หรือถ้าพิสูจน์ แล้ว ก็ให้เสนอแนวคิดใหม่ที่ดีกว่า หรือ ตั้งทฤษฎีขึ้นมาใหม่
อย่างเช่น ถ้ายังไม่มีคนพิสูจน์ว่า
"มีจำนวน sierpinski number (ที่เป็นจำนวนประกอบ)เป็นจำนวนอนันต์"


ครับผม
ถ้าได้แล้วก็ต้องนำเสนอให้ผ่าน ถึงจะจบปี 4 ครับ กำหนดส่งก็ 10 ม.ค. นี้แล้วอ่าพี่ เศร้า..

โอเค... ผมเข้าใจละ (แล้วทำไมไม่บอกให้ละเอียดตั้งแต่แรกนะ ว่าอยากได้ของใหม่) ถ้างั้นก็พิสูจน์ว่ามี Sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์ (ผมว่ามันจะสวยกว่า "จำนวนประกอบ" นะ) นี่แหละครับใหม่แน่ๆ :cool:

ถามมั่ง... แล้วที่ มข. นี่มีให้ต่อ ป.โท/เอก คณิตศาสตร์รึเปล่าครับ

มีครับ ทั้งโท ทั้งเอกครับ เอกจบไปรุ่นหนึ่งแล้วครับ มีคนเดียว 5555

แล้วจะเริ่มยังไงครับว่า "มีจำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ เป็นอนันต์"

ไม่เข้าใจคำถามครับ หมายความว่า "จะเริ่มพิสูจน์ยังไง" ใช่เปล่าครับ แล้วข้างบนนั่นทำได้หมดแล้วเหรอครับ

ขอถามนอกประเด็นนะครับ ทำไมเด็ก มข. ชอบไปเรียน มช. ครับ ผมเคยคุยกับเพื่อนที่เป็นศิษย์เก่า มข. เขาก็พูดทำนองเดียวกันว่าเด็กมข.ส่วนใหญ่ชอบไปเรียน มช. ครับ :confused:

เพิ่งเคลียร์โจทย์ครับ
ใช่ครับ ถ้าผมพิสูจน์ข้อ 3ได้ แล้วต้องทำอะไรต่อไป ครับ ถึงจะสรุปว่า "มีจำนวนเฉพาะ sierpinski number อยู่อนันต์"

น่าจะเป็นเพราะมหาลัยมีต้นไม้เยอะ บรรยากาศดูเป็นธรรมชาติเหมือนกัน และรุ่นพี่ก็เยอะครับ (ส่วนตัวคือ สอบไม่ติดครับ 5555+++)

ใช้ Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions ก็ได้แล้วครับ

พี่ครับ ผมรู้ว่าผมพิสูจน์ผิด แต่ก็อยากรู้ว่าผิดตรงไหนครับ แฮ่ๆๆๆ
ข้อ 3.) $ aฮ Z ," h > 1 , hบ a (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) ฎ h.$2^n$+1 is composite for all nฮ N

พิสูจน์ ให้ n = 64q+r บาง q,rฮ Z ที่ 0ฃ r < 64
กรณี r = 0 เลือก a = -1 ให้ h บ -1 (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)
จาก h.$2^n$+1 บ (-1).$2^n$+1 (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)
บ 0 (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)
กรณี r น 0 ให้ r = s.$2^k$ เมื่อ s เป็นจำนวนเต็มคี่ และ kฮ Z เลือก a = 1
ให้ h บ 1 (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)
จาก h.$2^n$+1 บ (1).$2^n$+1 (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)
บ 0 (mod $F_k$) บาง k


ผิดทุกที่เลยไหมครับ คิดไม่ออกที่พี่บอกให้เลือก h

อีกคำถามครับ
นิยามของจำนวน sierpinski number คือ จำนวนเต็มคี่ k ที่ทำให้ k.$2^n$ เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก nฮ Z ใช่ไหม ครับ :please:

เห็นนิยามแล้วอึ้งครับ :died:

$k\cdot2^n$ มันต้องเป็นจำนวนประกอบอยู่แล้วล่ะครับถ้า $n\ge2$

แล้วถ้า $n\in\mathbb Z$ เวลา $n$ เป็นลบเยอะๆ $k\cdot2^n$ ก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม แล้วมันจะเป็นจำนวนประกอบได้ยังไงล่ะครับ

พิมพ์ผิด ครับ 5555+++

นิยามของจำนวน sierpinski number คือ จำนวนเต็มบวกคี่ k ที่ทำให้ k.$2^n$ +1 เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก nฮ $Z^+$ ใช่ไหม ครับ

แล้วตกลงข้อ 3เป็นไงบ้างครับ
ผิดหมดเลยเหรอครับพี่

นิยามโอเคแล้วครับ

สำหรับข้อ 3. เอาเป็นว่าคุณ shin ตอบคำถามอันนี้ก่อนดีกว่านะครับ

ถ้า $p\mid F_5$ และ $32\mid n$, i.e., $n=32t$ ถามว่า $h\cdot2^n+1\equiv\;?\pmod p$
แล้วอันนี้ทำได้แล้วเหรอครับ ถ้ามั่นใจแล้วว่าทำได้ถูกต้องก็ไม่จำเป็นต้องแปะให้ผมดูหรอกครับ แค่ผมรู้สึกสังหรณ์ใจแปลกๆเท่านั้นเอง

First, try to prove that for each integer r;1ฃrฃ31 , the number $2^r$+1 is divisible by some $F_k$;0ฃkฃ4 . Do not use exhaustive calculation; there is a better way.

พิสูจน์ ให้ r = s.$2^k$ บาง s ที่เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ,0ฃkฃ4
$2^r$+1บ $2^{s.2^k}$+1บ $(-1)^s$ +1 บ 0 (mod $F_k$)

ถ้า p l $F_5$ และ 32 l n , i.e., n=32t ถามว่า h.$2^n$+1 บ ? (modp)

ตอบครับผม

h.$2^n$+1 บ h.$(-1)^t$+1 (mod $F_5$)
บ h.$(-1)^t$+1 (mod p )

ผมยังมองไม่ออกเลยครับว่า จะหา a ตัวไหน ที่ จะทำให้ข้อ 3 เป็นจริง ผมเดาว่านี่ คือ สิ่งที่พี่จะแนะให้ผมหา a ตัวนั้นเจอ !!! ...

ตอนนี้ผมส่งเรื่องไปแล้วครับ สเปเชียล เรื่อง จำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ มีอยู่อนันต์

มีสิทธิ์ เปลี่ยนได้ไม่เกินวัน 5 ครับพี่ ผมจะรอดไหมครับ เพราะต้องส่งฉบับ วันที่ 10 มค.ครับ และนำเสนอวันที่ 25 มค. ครับ ตรงกับสอบที่จุฬาฯ ก็อาจจะต้องเสนอก่อนวันที่ 25 อีก ...ผมจะบ้าแล้ว ครับ

โอเคครับ แต่ถ้าอยากพิสูจน์แบบไม่ใช้ congruence ก็ทำได้ดังนี้ครับ

เนื่องจาก $s$ เป็นจำนวนคี่ และ $2^r+1=2^{s\cdot2^k}+1=(2^{2^k})^s+1$ จึงหารด้วย $2^{2^k}+1=F_k$ ลงตัว (ตรงนี้เราใช้ความจริงที่ว่า "ถ้า $s$ เป็นจำนวนคี่ แล้ว $x^s+1$ หารด้วย $x+1$ ลงตัวเสมอ" )

จากการทำข้อ 2. เรามาถึงจุดที่ว่าถ้าเราเลือก $h$ ให้มีสมบัติว่า $h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}$ แล้ว $h\cdot2^n+1$ จะเป็นจำนวนประกอบเสมอถ้า $32\!\not|\,n$ ใช่ไหมครับ ดังนั้นสิ่งที่เราต้องพยายามก็คือ ทำให้ $h\cdot2^n+1$ เป็นจำนวนประกอบเมื่อ $32\mid n$ ด้วย ทีนี้เรารู้แล้วใช่มั้ยครับว่า ถ้า $n=32t$ และ $p\mid F_5$ แล้ว $h\cdot2^n+1\equiv h(-1)^t+1\pmod p$ นั่นคือเราต้องพยายามทำให้ $h(-1)^t+1\equiv0\pmod p$ ใช่เปล่าครับ ดังนั้นเราควรเลือก $h$ อย่างไรดี (ยังไม่ต้องไปสนกับของเดิมที่ว่า $h\equiv1\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4}$ อันนั้นเดี๋ยวเราค่อยเอามาผนวกทีหลังครับ เอาแค่กรณี $32\mid n$ อย่างเดียวก่อน) อย่าลืมว่าเรามี $p$ ให้เลือกใช้อยู่ 2 ตัว ตัวนึงคือ 641 ส่วนอีกตัวคือ $F_5/641$ ลองคิดดูนะครับ ไม่ยากหรอก

ป.ล. ใจเย็นครับ ผมอยู่ทั้งคนต้องรอดแน่ (ถ้าคุณ shin เอาจริงด้วยนะ) :cool:

ข้อ 3 ตกลงเราต้องเลือก a หรือ h ครับ ประโยคที่ว่า $ a ฮ Z ," h >1,...

เราต้องเลือก a ที่ใช้ได้กับ ทุก h ใช่ไหม ครับ
หรือ ถ้าเลือก h เราติดเป็นตัวแปรได้ไหม ครับ เช่น $(-1)^t$

มันเป็นเรื่องของภาษานะครับ ผมเลือกให้ $x=2$ ถามว่าผมเลือก $x$ หรือผมเลือก 2 อะไรทำนองนั้นแหละครับ เข้าใจบ่

แหม...ผมอุตส่าห์พิมพ์ซะยาว เพื่อให้คุณ shin คิดตามเป็น step แต่ก็เหมือนกันทุกครั้ง คุณ shin กระโดดล้ำหน้าผมไปทุกที ผมยังไม่ได้พูดถึง $a$ ตัวนั้นเลยครับ ก็เลยไม่รู้จะตอบยังไง

ผมไม่ชอบการตีความเป็นสัญลักษณ์แบบนั้นเลยครับ งง คำพูดธรรมดาเข้าใจง่ายกว่าตั้งเยอะ ผมจะพูดอันข้อ 3. เป็นภาษาไทย (ปนอังกฤษ) ให้ฟังละกันนะครับ

"มีจำนวนเต็ม $a$ ที่เมื่อ $h\equiv a\pmod{F_0F_1F_2F_3F_4F_5}$ และ $h>1$ แล้ว $h\cdot2^n+1$ เป็นจำนวนประกอบสำหรับทุกจำนวนนับ $n$"

เงื่อนไข $h>1$ เป็นเรื่องรายละเอียดที่เพิ่มขึ้นมาเพื่อตัดโอกาสที่ $h\cdot2^n+1$ จะเป็น Fermat prime ในการพิสูจน์ช่วง 2 น่ะครับ มันไม่ใช่แก่นของการพิสูจน์

เลือก $h$ ต้องไม่ติดตัวแปรครับ

แนะเพิ่มหน่อยนึงครับ

ถ้าเราเลือกให้ $h\equiv1\pmod{641}$ จะเห็นว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนที่อยู่ในรูป $h\cdot2^{32t}+1$ จะต้องเป็นจำนวนประกอบแน่ๆ (ทำไมมันถึงเป็นจำนวนประกอบ?) ถามว่าเราควรเลือกให้ $h\equiv\;?\pmod{F_5/641}$ ดีถึงจะบีบให้จำนวนที่อยู่ในรูป $h\cdot2^{32t}+1$ ที่เหลืออีกครึ่งหนึ่งเป็นจำนวนประกอบแน่ๆเช่นกัน