ขอโจทย์สมการเชิงฟังก์ชันหน่อยครับ
 

อยากได้โจทย์ระดับแข่งขันTMOของสมการเชิงฟังก์ชันอะครับที่มีการใช้เทคนิคแปลกๆ อย่ายากมากนะครับพอดีว่าผมไม่ค่อยถนัดวิชานี้เท่าไรน่ะครับ555
ขอหน่อยนะครับ:please::please:

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $f(xf(y)+yf(x))=2f(x)y$

ข้อของคุณ nooonuii ง่ายไปไหมครับ มันทำไม่กี่บรรทัดหลุดเลยนิ

เอาข้อนี้ดีกว่า จงหา $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)$

ง่ายๆครับ

หา $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $21f(n) = 2f(n-1)+5f(n-2)+5f(n-3)+9f(n-4)$

สวัสดีครับ ส่งโจทย์มาร่วมสนุกนะครับ :)

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ที่สอดคล้องกับสองเงื่อนไขต่อไปนี้

1.) $\forall n\in\mathbb{N},f(n!)=f(n)!$

2.) $\forall m,n\in\mathbb{N},m-n|f(m)-f(n)$

@ข้อน้อง Pichayut

ข้อ ของผมไม่เหมาะกับระดับเหรียญทอง TMO อยู่แล้วล่ะครับ
ผมเอามาให้เจ้าของกระทู้ฝึกทำน่ะ

สงสัยปล่อยโจทย์ยากไปหน่อย ขอโทษด้วยครับ

พอดีไปเจอมาจาก EGMO เห็นว่าสวยดี เลยเอามาลง

คราวนี้ง่ายลงมาหน่อยละกัน จงหา $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$

Hint : ความยากอยู่ที่การหา f(1)

:)
ข้ออาจารย์nooonuii f(xf(y)+yf(x))=2f(x)y

แทนxด้วยyกับแทนyด้วยx
สมการที่1 f(xf(y)+yf(x))=2f(x)y
สมการที่2 f(yf(x)+xf(y))=2f(y)x

จับเท่ากัน ได้ f(x)y=f(y)x เป็นสมการที่3
จะแสดงว่าเป็น1-1 สมมติ f(x)=f(y)
xyf(x)=xyf(y)
จากสมการที่3ได้ว่า x=y ดังนั้นf 1-1
แทนyด้วยx f(2xf(x))=2xf(x)
แทนxด้วย1/2 f(f(x))=f(x)
เนื่องจากf 1-1 f(x)=x

--------------------------

ข้อคุณpitchayut คิดอยู่นานเลยแหละครับไม่รู้ได้รึป่าว555
f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)

แทนyด้วย0 f(f(x))=4x เป็นสมการที่1

แทนyด้วย-2x/f(x+y)
f(-2x+f(x))=4x-4x
ใส่f f(f(-2x+f(x))=f(0)
จากสมการที่1 4(-2x+f(x))=f(0)
ได้ f(x)=f(0)/4+2x
นำไปแทนค่าในโจทย์ได้f(0)=0
ดังนั้น f(x)=2x

ขอบคุณทุกท่านที่ช่วยส่งโจทย์มานะครับได้ฝึกโจทย์ดีๆหลายข้อเลย:please:

ได้ครับเพราะว่าถ้า
f(x)=f(y)
f(f(x))=f(f(y))
4x=4y
x=y
นั่นคือ f เป็น injective ครับ

อ๋อครับผมโง่เอง555เพิ่งนึกออกเมื่อกี้

สงสัยหลายจุดเลยครับ

ตรงนี้แทน y=1 ก็ออกละครับ

ถ้า f(x)=0 ล่ะครับ

แทน x ด้วย 1/2 ตรงไหนหรอครับ

ค่า y ใน f(x+y) ก็ต้องเปลี่ยนด้วยหนิครับ

เออจริงด้วย555ผมสะเพร่าไปหลายจุดเลยนะครับเนี่ย:p