|
ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong
|
ปัญหาที่ 55 ผมได้ว่า $m = -1,0,\frac{(3+5)\pm\sqrt{2-2\sqrt{5}}}{2},\frac{(3-5)\pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$
ปัญหาที่ 57 ผมได้ว่า $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}]$ เหมือนใครมั่งมั้ยน้อ :sweat: |
ข้อที่ 55/2548 นะครับ ไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่นะครับ
โจทย์ จงหา ค่าของจำนวนจริง m ทุกจำนวน ซึ่งทำให้สมการ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1)) (x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1)) = 0$ มีรากที่แตกต่างกันเพียงสามค่า (1997 Bulgarian National Olympiad in Mathematics) ให้ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=p(x)$ และ $(x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1)) = q(x)$ พิจรณา จำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $p(x)=0$ จะได้ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=0$ $x=m\pm \sqrt{5m^2+4}$ สังเกตุว่า $5x^2+4>0$ จะได้ว่า $p(x)=0$ มีรากทั้งหมด 2 ราก นั่นคือ จะได้ว่า $q(x)=0$ ต้องมีรากเดียว พิจรณารากของ $q(x)=0$ ได้ $x=2\pm \sqrt{2m^3+2m+4}$ แต่ $q(x)=0$ ต้องมีรากเดียว นั่นคือ $2m^3+2m+4=0$ $(m+1)(m^2-m+2)=0$ แต่$m$เป็นจำนวนจริง จะได้ $m=-1$ เพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้ แต่เมื่อแทน $m=-1$ แล้วจะได้ $f(x)$ มี 2 ราก กรณีที่ $p(x)$ กับ $q(x)$ มีรากซ้ำ จะได้ว่ามี $x$ ที่ทำให้ $p(x)=q(x)=0$ $(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=(x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1))$ $(4-2m)x=(4-2m)(m^2+1)$ กรณีที่ $m=2$ จะได้ $f(x)$ มีเพียงสองราก ดังนั้น $m \not= 2$ $x=m^2+1$ แทนค่ากลับลงไปจะได้ $f(x)=(x^2-2mx-4x)^2=0$ $x^2(x-4-2m)^2=0$ แต่ถ้า $x=0$ จะเกิดข้อขัดแย้งกับ $x=m^2+1$ กรณีที่ $x=4+2m=m^2+1$ จะได้ $m=-1,3$ แทน $m=3$ พบว่าเป็นจริง |
แทน x=0 ผมก็เท็จแล้วครับ :cry:
ผมตีความว่า มีรากที่แตกต่างกันเพียงสามค่า เป็น มีรากซ้ำ 1 ค่าครับ ใช้สูตรแล้วก็จับมาเท่ากันทีละตัว :sweat: ปล. พบที่ผิดแล้วครับ :laugh: ตั้งแต่ต้นเลย :aah: |
อ้างอิง:
|
#6 ขอบคุณครับ :) แต่ถ้าแทนอย่างนั้นมันได้ f(x) เป็น 0.76 อ่ะครับ เดี๋ยวผมลองคิดดูอีกทีละกันครับ :laugh:
ปัญหาที่ 55 ได้มา 3 ตัวคือ -1,2,3 ครับ แต่ทดสอบดูแล้วใช้ได้แค่ -1,3 ปัญหาที่ 57 คิดใหม่ได้ $a\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ (ลืมคิดอีกกรณี :please:) |
#7
จริงด้วยแหะ ผมรีบร้อนสรุปไปหน่อยแหะ T_T ปล. m=-1 ไม่จริงนะครับ ปล. 2 ผม EDIT Solution ใหม่แล้วนะครับที่คาดว่าน่าจะสมบูรณ์มากที่สุด |
อ่อครับผมก็รีบไปหน่อยตอนใส่ $x=-1$ ดันได้เป็น $(x^2+2x-8)(x^2+4x+4)$ :blood:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
ปัญหาที่ 58 ผมได้ว่า หลักหน่วยของ $n^2$ คือ $6$ ครับ
ปัญหาที่ 59 ผมได้ว่า ค่าสูงสุดของ $z$ คือ $\frac{13}{3}$ ครับ ปล. ข้อไหนมั่นใจว่าคำตอบถูกต้องแล้วจะเอาขึ้นไว้ที่ #1 นะครับ :) |
ข้อ 58
ผมใช้ mod 4 อ่ะครับ จากความจริงที่ว่า $n^2\equiv 0 (mod 4)$ หรือ $n^2\equiv 1 (mod 4)$ เท่านั้น พิจรณา $n^2$ ที่มีหลักสิบเท่ากับ 7 หลักหน่วยเท่ากับ x ให้ $n^2=a_na_{n-1}...a_07x=(a_na_{n-1}...a_0)100+7x$ สังเกตุว่า $4\mid 100(a_na_{n-1}...a_0)$ โดยที่ $a_i$ ป็นเลขโดด พิจรณา $7x$ กรณีที่ $4\mid n^2$ จะได้ $x=2,6$ แต่ไม่มีจำนวนเต็มใดยกกำลังสองแล้วลงท้ายด้วย 2 ดังนั้น เลข 2 เป็นไปไม่ได้ กรณีที่ $n^2\equiv 1 (mod 4)$ จะได้ $x=3,7$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ด้วยเหตุผลเดียวกับ 2 ดังนั้น 6 จึงเป็นเพียงเลขเดียวที่เป็นไปไ้ด้ |
ข้อ 58 ผมนั่งพิจารณาไปเรื่อยๆแฮะ(นานดีครับ :cry:) ใช้ congruence ไม่ค่อยเป็น :aah:
ได้เพิ่มมาสองข้อ :happy: ข้อ 63 ผมได้ $(m,n)=(0,0),(0,1)$ ข้อ 61 ผมได้ $f(x)=\frac{4}{9}x^3,0$ ปล. 0 เป็นพหุนามหรือเปล่าครับ :sweat: |
64.
พิจรณา $21n+4=(1)(14n+3)+(7n+1)$ $14n+3=(2)(7n+1)+1$ โดยวิธีการหารแบบยูคลิดจะได้ว่า $(21n+4,14n+3)=1$ นั่นคือ $\frac{21n+4}{14n+3}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ุ65. ผมกระจายออกสุดท้ายได้ $8cos^6x-10cos^4x+3cos^2x=0$ แก้สมการได้ $x=\frac{\pi }{2} +2k\pi,\frac{3\pi }{2} +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi,\frac{3\pi }{4}+2k\pi,\frac{5\pi }{4} +2k\pi,\frac{7\pi }{4} +2k\pi,\frac{\pi }{ุ6} +2k\pi,\frac{5\pi }{6} +2k\pi,\frac{7\pi }{6} +2k\pi,\frac{11\pi }{6} +2k\pi$ |
57. ตอบ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
จัดรูปอสมการใหม่ได้ $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (x-a)^2\leq \dfrac{7}{4}+2a^2$ ทุกค่า $x\in [0,1]$ Case 1: $a\geq 1$ จะได้ $(1-a)^2\leq (x-a)^2\leq (0-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$ ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (1-a)^2$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ Case 2: $a\leq 0$ จะได้ $a^2\leq (x-a)^2\leq (1-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$ ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ ซึ่งจะได้ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq 0$ Case 3: $0\leq a\leq 1$ จะได้ $0\leq (x-a)^2\leq\max{\{a^2,(1-a)^2\}}$ ทุก $x\in [0,1]$ ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq 0$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ ซึ่งจะได้ $0\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ สรุปว่า $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:05 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha