โจทย์จำนวนเชิงซ้อน (entrance)
Ent (มีนา, 45)
19.กำหนดให้ จำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,z_3$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง ถ้า $\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = cos \frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}$ $z_1z_2=1+i$ $z_2z_3=2+2i$ $z_3z_1=3+4i$ แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. $\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}=cos \frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}$ ข. $z^2_1+z^2_2+z^2_3=6+7i$ คำตอบคือ ก ผิด ข ถูก อยากรู้วิธีทำข้อ ข ครับ คือว่าวิธีทำในหนังสือเฉลยมันค่อนข้างจะถึกเลยคิดว่าวิธีมันไม่ค่อยจะดีซักเท่าไหร่ |
ทำข้อ ก. ก่อนครับ เพราะมันง่าย :p
$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = cos\frac{\pi}{3} + isin\frac{\pi}{3}$ $\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} - 1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - 1$ $\frac{z_3-z_1-z_2+z_1}{z_2-z_1} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ $\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ $\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = cos\frac{5\pi}{3} + isin\frac{5\pi}{3}$ |
ผมทำผิดยังไงอะดูให้ทีคับ
$z_1z_2 = 1+i.............(1)$ $z_2z_3 = 2(1+i).........(2)$ $z_3z_1 = 3+4i..........(3)$ $\frac{(1)(3)}{(2)} : z_1^2 = \frac{3+4i}{2} ...........(1^')$ $\frac{(1)(2)}{(3)} : z_2^2 = \frac{4i}{3+4i} ..........(2^')$ $\frac{(2)(3)}{(1)} : z_3^2 = 2(3+4i) =6+8i ............(3^')$ $ (1')+(2')+(3') = z_1^2+z_2^2+z_3^3 = \frac{407+524i}{50} $:confused::confused: |
เออ ไม่รุว่าผิดตรงไหนเหมือนกัน :haha:
แต่วิธีคิดดีมากเลยอะ นึกไม่ถึงเลย :p |
ขอพิจารณาอีกรอบ - -a เพราะว่า ลืมอ่านตรงสามเหลี่ยมด้านเท่าไป ก็เลยงง
โจทย์ข้อนี้ ผมว่าผิดนะครับ เพราะว่า ถ้า $z_1 ,z_2 ,z_3$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ว่า $z_1^2+z_2^2+z_3^2 = z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 6+7i$ แต่เมื่อคิดตาม rep บน จะพบว่า โจทย์ผิดครับ ;) |
แต่ในเฉลยมันก็ทำถูกนะ โจทย์ไม่ผิดหรอกมั้ง แต่ข้างบนเค้าก็ทำไม่มีที่ผิดอะ
|
อ้างอิง:
ถ้าจะเช็ค ก็ลองหา $z_1 ,z_2 ,z_3$ ดูครับ แล้วนำไปพลอตกราฟ แล้วดูว่าเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ารึเปล่า :( |
ไหนๆกระทู็นี้ก็เชิงซ้อนละ สงสัยข้อนึง
(Ent 47 ตุลา) $ถ้า Aเป็นเซตคำตอบของสมการ z^{14}=i$ $ถ้า B เป็นเซตคำตอบของสมการ z^{22}=i$ $แล้ว จำนวนสมาชิกของ A\cap B เท่ากับเท่าไร $ ถ้าคิดตรงๆก็ออกง่ายๆ แต่ มีวิธีที่ไม่ต้องนั่งไล่ปะคับ ถ้าเกิดมันยกกำลังมากกว่านี้ขึ้นมา ปล รู้สึกจะตอบได้เลยว่า จำนวนคำตอบเท่ากับ (a,b) ทำไมถึงเป็นอย่างนั้นอะ (เมื่อ a ,b เป็นเลขชี้กำลัง):confused::confused: |
สังเกตว่า คำตอบเป็น $cis(\pi /2+2k\pi)/n$ เมื่อ $n=14,22$ และ $k=0,1,...,n-1$
นั่นคือ ต้องเป็นมุมเดียวกัน กล่าวคือ $$[1/2+2a]/14=[1/2+2b]/22$$ เมื่อ $a=0,1,2,...,13 , b=0,1,2,...,21$ โดยสมการดังกล่าว สมมูลกับ $7a\equiv 1 (mod11)$ ได้ $a=8,b=5$ ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $cis(\pi /2+10\pi )/14=cis(\pi /2+16\pi)/22=cis3\pi /2$ ตามต้องการ และจำนวนคำตอบของ $A\cap B$ นั้น ขอลองคิดดูอีกที |
$cis$ คืออะไรหรอครับ
|
\[
cis(x) = e^{ix} = \cos x + i\sin x \] |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:48 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha