รบกวนพี่ Gon เรื่องเอกลักษณ์มุม pi/13 หน่อยครับ
 

เนื่องจากบทความใน My Math เล่มเก่าๆที่ผมขุดมาอ่าน ไปเจอเอกลักษณ์หนึ่งของพี่ Gon เข้า

$1. \cos \frac{\pi}{13}+\cos \frac{3\pi}{13}+\cos \frac{9\pi}{13}=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$
$2. \cos \frac{2\pi}{13}+\cos \frac{6\pi}{13}+\cos \frac{18\pi}{13}=\frac{\sqrt{13}-1}{4}$

ไอสองตัวนี้แหละครับ ที่ไม่รู้ว่ามายังไง รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

อีกอย่างหนึ่งคือ กระทู้นี้ตรงข้อ 35 สมาคม 2552 http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=9127&page=2

ผมอยากรู้ว่ามีการจุดไอเดียขึ้นมาได้ยังไงครับ (เพราะต่อให้ผมทำไปได้แบบนั้น ยังไงก็ต้องติดตรงก้อนที่มีค่าเท่ากับ $\frac{9}{8}$ อยู่ดี)

รบกวนด้วยนะครับ :D

Attachment 5625
Attachment 5626

งงบรรทัดไหนครับ. :confused:

ส่วนข้ออินทิกรัล ตอนแรกก็พยายามหาว่ามันมีความสมมาตรหรือไม่ หรือควรจะแบ่งรอยต่อตรงไหนดี

ส่วนเรื่องผลบวกกำลังสี่ของเอกลักษณ์ ตรงนี้ ถ้า a, b, c เป็นรากของพหุนามกำลังสาม $x^3+px^2+qx+r=0$

ซึ่งถ้าเราให้ $S_n = a^n + b^n + c^n$

จะได้ $S_n = -pS_{n-1} - qS_{n-2} - rS_{n-3}$

นั่นคือ ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็ม เราก็จะหาได้ไม่ยากครับ

แต่ในข้อนั้น หันไปใช้เอกลักษณ์พีชคณิตที่ดูไม่ยากนัก :)

กระจ่างแล้วล่ะครับ ขอบคุณมากครับ คือว่า My math เล่มที่ผมอ่านมันเป็นเล่มที่เป็นปกนิวตันครับ ออกเมื่อปี 2009 ฉบับดังกล่าวจึงไม่มีส่วนบทพิสูจน์ที่พี่ Gon เอามาให้ดู (ในบทความบอกว่าถ้ารู้เอกลักษณ์สองตัวนั่นแล้ว จะเอาไปสร้างเอกลักษณ์อะไรได้ต่อ แล้วบทความก็จบไป :cool:)

ว่าแต่ฉบับที่พี่ Gon เอามาให้ดูนี่เป็นฉบับไหนครับ? ขอบคุณมากครับ :great:

เล่มที่ 25 ครับ (ก.พ. 2007) หน้าปกเป็น John von Neumann