หาเรนจ์อ่ะครับ
 

จงหาเรนจ์ของ (x+1)/[(x^2)+x+1]

$x$ คืออะไรครับ บอกรายละเอียดอีกนิด

ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงจะได้

$-\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\leq 1$

ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $x=-2$ ค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $x=0$

x คือจำนวนจริงครับ ทำไงอ่ะครับ

เอาแบบไม่ใช้แคลคูลัสนะครับ

$\dfrac{x+1}{x^2+x+1}=1-\dfrac{x^2}{x^2+x+1}\leq 1$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=0$

ถ้า $x=-1$ จะได้ $\dfrac{x+1}{x^2+x+1}=0$

ดังนั้นค่าต่ำสุดจะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ $0$ สมมติว่าเป็น $-k$ เมื่อ $k\geq 0$

จะได้ว่า

$-k\leq \dfrac{x+1}{x^2+x+1}$ ทุก $x\in\mathbb{R}$

$kx^2+(k+1)x+(k+1)\geq 0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$

ซึ่งจะเป็นจริงได้ค่า discriminant ต้องไม่เป็นบวก จึงได้ว่า

$(k+1)^2-4k(k+1)\leq 0$

$(k+1)(1-3k)\leq 0$

$k\geq\dfrac{1}{3}$

แต่เนื่องจากเราต้องการค่าสุดขีดจะต้องได้ว่า $k=\dfrac{1}{3}$ ไม่เช่นนั้นสมการจะเกิดไม่ได้

ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากว่าสมการเกิดได้เมื่อ $x=-2$

ขอบคุณครับ :)

อีกแบบหนึ่งครับ

$y=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}$

$yx^2+yx+y=x+1$

$yx^2+(y-1)x+y-1=0$

$x\in \Re \Longleftrightarrow (y-1)^2-4y(y-1)\geqslant 0$

$3y^2-2y-1\leqslant 0$

$(3y+1)(y-1)\leqslant 0$

$-\dfrac{1}{3}\leqslant y\leqslant 1$