ลำดับพหุนาม
 

ลำดับพหุนามคือลำดับที่สามารถเขียนพจนทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามเช่น
1. ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี1
จึงเรียกลำดับ$a_n=3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่1....หรือที่รู้จักกันในชื่อลำดับเลขคณิต
2.ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=n^2+3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี2
จึงเรียกลำดับ$a_n=n^2+3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่2....
หรือ3.ลำดับที่มีพจน์ทั่วไป$a_n=n^3-n^2+3n-1$เป็นลำดับที่สามารถเขียนพจน์ทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี3
จึงเรียกลำดับ$a_n=n^3-n^2+3n-1$ว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3....เป็นต้น
ยกตัวอย่างเฉพาะเจาะจงลงไปเช่น จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ $5 , 19 , 42 , 76 , 123 ,...$
ซึ่งลำดับดังกล่าวเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3เพราะมีคำตอบเป็น$[a_n=\frac{n^3}{3}+\frac{5}{2}^2+\frac{25}{6}n-2]$
วิธีการระบุว่าเป็นลำดับพหุนามอันดับที่3ได้อย่างไรและการหาพจน์ทั่วไปคืออะไรแสดงรายละเอียดตามภาพ...
ซึ่งจะนำไปสู่การหาอนุกรมของลำดับพหุนามได้ต่อไป

นอกจากวิธีเชิงเมตริซ์สามารถนำมาใช้หาพจน์ทั่วไปของลำดับที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนามได้แล้ว
ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ยังสามารถใช้หาอนุกรมของลำดับนั้นได้ด้วยตัวอย่างเช่นอนุกรม
5+19+42+76+123+...+จนถึงnพจน์จะได้
$S_1=5,S_2=24,S_3=66,S_4=142,S_5=265,S_6=450,...$
นำลำดับของ$S_n$มาหาผลต่างพจน์เป็นชั้นๆจนได้ผลต่างคงที่แล้วนำมาดำเเนินการด้วยวิธีเชิงเมตริกซ์
จะสามารถหาพจน์ทั่วไปของอนุกรมได้ในที่สุด.....

การใช้เมตริกซ์เลื่อนพหุนาม
 

..สุดความสามารถแล้วครับ....พิจารณากันดู

การใช้เมตริกซ์คูณพหุนาม
 

ความพยายามในการรวมมุมมองพหุนามเข้ากับเมตริกซ์-------(มีการแก้ไขครับ)

การใช้เมตริกซ์คูณพหุนาม
 

การคูณพหุนามในมุมมองพื้นฐานของเมตริกซ์ นำมาช่วยลดความซับซ้อนในการคูณพหุนามหลายๆพจน์ได้อย่างมีระบบมากขึ้น

การคูณเลขฐานโดยใช้พหุนาม
 

ขอฟีดผลงานต่อเนื่องเลยล่ะกันครับ

พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

...ตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3...
โดยมีพจน์ที่1และ2เป็น$a_1และa_2ตามลำดับ$

....จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=A\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +B\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$
เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$
และ$A=\frac{\vmatrix{a_1 & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ a_2 & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } }{\vmatrix{\frac{p_1}{p_1-p_2} & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2} & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } } $
$B=\frac{\vmatrix{ \frac{p_1}{p_1-p_2}&a_1 \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2}&a_2 } }{\vmatrix{\frac{p_1}{p_1-p_2} & \frac{p_2}{p_2-p_1} \\ \frac{p_1^2}{p_1-p_2} & \frac{p_2^2}{p_2-p_1} } } $

...กรณีเฉพาะของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3...
โดยมีพจน์ที่1และ2หรือ$a_1=1และa_2=\alpha ตามลำดับแล้ว$

...จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$
เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$

♡พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลังสามพจน์♡
 

...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นและย้อนหลัง3พจน์หรือ...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ4...
โดยมีพจน์ที่1,2และ3คือ$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta ตามลำดับแล้ว$

...จะได้ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=\frac{p_1^{(n+1)}}{(p_1-p_2)(p_1-p_3)} +\frac{p_2^{(n+1)}}{(p_2-p_1)(p_2-p_3)} +\frac{p_3^{(n+1)}}{(p_3-p_1)(p_3-p_2)} $$
เมื่อ$p_1,p_2และp_3เป็นรากของสมการ... x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$

อนุกรมของความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

"ลำดับที่มีความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...อนุกรมของลำดับนั้นจะมีความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นด้วยเช่นกัน"
...ตัวอย่างเช่นลำดับฟิโบนาชี
$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}เมื่อa_1และa_2=1$$หรือ...
ลำดับในรูป ...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...
จะมีอนุกรมฟิโบนาชีเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เขียนได้ในรูป
$$S_n=2S_{n-1}-S_{n-3}เมื่อS_1=1,S_2=2และS_3=4$$
โดย $S_n=a_1+a_2+...+a_n$

...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลัง2พจน์หรือ..
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},เมื่อมีพจน์ที่1และ2เท่ากับa_1และa_2ตามลำดับ$$
จะมีอนุกรมของความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูป...
$$S_n=(\alpha +1)S_{n-1}+(\beta -\alpha )S_{n-2}-\beta S_{n-3}$$
โดย$S_1=a_1$
$S_2=a_1+a_2$
และ$S_3=a_1+a_2+a_3$

รากของพหุนามกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

....พหุนามกำลัง3ที่มีรากของสมการอย่างน้อย1ค่าอยู่ระหว่าง0กับ1...และอยู่ในรูป
$$x^3=\alpha x^2+\beta x+\gamma $$
จะสามารถหารากของสมการโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
...โดย$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta $และรากของสมการกำลังสอง
$$\lim_{n \to \infty} [a_nx^2+(\beta a_{n-1}+\gamma a_{n-2})x+\gamma a_{n-1}]=0$$
โดย$0<x<1$จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามกำลังสามนั้นด้วย

ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต
 

กรณีที่พหุนามของความสัมพันธ์เวียนเกิด
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
โดย$a_1=1และa_2=\alpha $
ซึ่งคือ$x^2=\alpha x+\beta $มีรากสมการเพียงค่าเดียวคือ$p$
ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปคือ...
$$a_n=np^{n-1}$$

ลำดับพหุนามกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

"ลำดับที่มีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปฟังก์ชันพหุนาม...จะสามารถเขียนลำดับนั้นให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เสมอ"
เช่น...1.ลำดับ$a_n=3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ...
$$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$$
$เมื่อa_1=2และa_2=5$
2.ลำดับ$a_n=n^2+3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ...
$$a_n=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$$
$เมื่อa_1=3,a_2=9และa_3=17$
...หรือ3.ลำดับ$a_n=n^3-n^2+3n-1$จะมีรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ...
$$a_n=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}$$
$เมื่อa_1=2,a_2=9,a_3=26และa_4=59$

การหาอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น
 

เช่นความสัมพันธ์$$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}โดยa_1=1และa_2=2$$
$$หรือลำดับ1,2,4,8,16,...$$
...ถ้าดูอย่างผิวเผินจะเห็นว่าเป็นความสัมพันธ์ที่จำเป็นจะต้องรู้พจน์ก่อนหน้าพจน์ที่จะหาถึง2พจน์
แต่ถ้าพิจารณาให้ดีให้ถี่ถ้วนจะเห็นว่าความสัมพันธ์ที่กล่าวถึงนี้คือลำดับเรขาคณิตนั่นเอง..
แค่ทราบพจน์ก่อนหน้าพจน์ที่จะหาเพียงพจน์เดียวก็น่าจะเพียงพอแล้ว ..
หรือสามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์แทนได้ว่า$a_n=2a_{n-1}เมื่อa_1=1$เท่านั้น..ถูกมั้ยครับ..
ทำให้บอกได้ว่าความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},a_1=1และa_2=2$...
สามารถลดรูปเหลือ$a_n=2a_{n-1},a_1=1$ได้...
ซึ่งก็คือความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2},a_1=1และa_2=2$มีอันดับ(Ranking)เท่ากับ1