ข้อสอบทุนเรียนดีกระทรวงวิทย์ภาคกลาง 55
 

ข้อสอบทุนเรียนดีกระทรวงวิทย์ ศูนย์ภาคกลาง (เพื่อเข้าศึกษาต่อปี 55)

วันนี้ผมไปสอบมาเลยนั่งจำบางข้อที่สวยๆ ไว้เป็นแนวทางให้รุ่นต่อๆไป เพราะเห็นว่าไม่ค่อยมีคนมาลง

ใครจำข้อไหนก็มาเพิ่มเติมได้นะครับ


1. จงหาจำนวนของจำนวนนับ $x \le 1000$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่ง $x$ หารด้วย 30 เหลือเศษ 10 และมี หรม. กับ 1200 เป็น 50

2. ถ้า $a \in [-2,3]$ และ $f(x)=x^2+x-6$ แล้ว จงหาผลรวมระหว่างค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของค่า $f(a)$

3. หาช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของ a เมื่อสมการ $x^2+x+a=0$ และ $x^2+ax+1=0$ ไม่มีคำตอบ (โจทย์ข้อนี้ไม่แน่ใจ)

4. จงพลอตกราฟและหาเรนจ์ของความสัมพันธ์ $(x-4)^2 < 4y < 4 \sqrt{16-x^2}$

5. กำหนดให้
$$\bmatrix{\overline{a} \\ \overline{b} \\ \overline{c}} = \bmatrix{\overline{i}+\overline{j}+\overline{k} \\ -2 \overline{i} -4 \overline{j} +6 \overline{k} \\ x \overline{i} +y \overline{j} +z \overline{k}}$$
เมื่อ $x,y,z \in \mathbb{R}$ และถ้า $\overline{a} \times \overline{c}=\overline{b}$ และ $\overline{a} \bot \overline{c}$ แล้ว จงหาค่าของ $x,y,z$

6. ถ้าสมการ $a \sin x + b \cos x +c =0$ มีคำตอบสำหรับจำนวนจริง $x$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2 \ge c^2$

7. ให้ $A=\{ (a_1,a_2,a_3)\, :\, a_1,a_2,a_3 \in \{1,2,3,...,21\}\,$ และ $\, a_1 \not= a_2 \,$ และ $\, a_2 \not= a_3 \, \}$
7.1) หาจำนวนสมาชิกทั้งหมดใน A
7.2) หาจำนวนสมาชิกใน A ซึ่ง $a_2=9$ และ $a_2 > a_1,a_3$
7.3) หาจำนวนสมาชิกใน A ซึ่ง $a_2=9$ และ $a_2 < a_1,a_3$
7.4) หาจำนวนสมาชิกใน A ซึ่ง $a_2>a_1,a_3$
7.5) จงหาจำนวนสมาชิกในเซต A ซึ่ง $a_2 > a_1,a_3$ หรือ $a_2 < a_1,a_3$

เมื่อ $a+b+c=0$ แล้ว $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0$
$a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x +c^2+2(ab\sin x cos x+c(a \sin x + b \cos x)) =0$
$a^2-a^2\cos^2 x + b^2 \cos^2 x +c^2+2(ab\sin x cos x-c^2) =0$
$a^2-a^2\cos^2 x + b^2 \cos^2 x -2b \cos x (c+b \cos x ) =c^2$
$a^2+ (b^2-a^2) \cos^2 x -2b^2 \cos^2 x-2bc \cos x =c^2$
$a^2- (b^2+a^2) \cos^2 x -2bc \cos x =c^2$
$(b^2+a^2) \cos^2 x+2bc \cos x+c^2-a^2=0$

ค่า $\cos x$ มีคำตอบเมื่อ $(2bc)^2-4(b^2+a^2)(c^2-a^2)\geqslant 0$
$4b^2c^2-4(b^2c^2-a^2b^2+a^2c^2-a^4)\geqslant 0$
$a^4-a^2c^2+a^2b^2\geqslant 0$
$a^2(a^2+b^2) \geqslant a^2c^2$
$a^2(a^2+b^2-c^2) \geqslant 0$
$a^2+b^2 \geqslant c^2$ หรือ $a^2 \geqslant 0$

$x^2+ax+1=0 $ จะไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงเมื่อ $a^2-4<0 \rightarrow -2<a<2$
$x^2+x+a=0$ จะไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงเมื่อ $1-4a<0 \rightarrow a>\frac{1}{4} $
ค่าที่เป็นไปได้ของ a เมื่อสมการ $x^2+x+a=0$ และ $x^2+ax+1=0$ ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง คือ $(\frac{1}{4},2) $

ไม่รู้ว่าผมจะสรุปไปว่า จำนวน $x$ หารด้วย 30 เหลือเศษ 10 และหารด้วย 50 ลงตัว ได้ไหม
$x=30a+10=50b$
$3a+1=5b$
$x \leqslant 1000 \rightarrow a\leqslant 33,b\leqslant 20$
เนื่องจาก ผลคูณของ $5b$ ลงท้ายด้วย 0กับ5 เราจึงเล็งดูค่า $3a$ ที่ลงท้ายด้วย 4กับ9
$a=3,13,23,33$ กับ $a=8,18,28$
ดังนั้นได้ค่า $x$ ทั้งหมด 7 ค่า แต่ในชุดของ $a=3,13,23,33$
จะได้ค่า $100,400,700,1000$ ซึ่งมี หรม. กับ 1200 ไม่ใช่ 50
อีกชุดหนึ่งคือ $a=8,18,28$ จะได้ค่า $250,550,850$ ซึ่งมี หรม. กับ 1200 เป็น 50
ดังนั้นเหลือคำตอบคือ 3 จำนวน

วิธีทำอีกแบบนึงครับ

$(acosx-bsinx)^2\ge0$
$a^2cos^2x+b^2sin^2x \ge 2acosxsinx$
$a^2cos^2x+a^2sin^2x+b^2sin^2x+b^2cos^2x \ge a^2sin^2x+2acosxsinx+b^2cos^2x$
$(sin^2x+cos^2x)(a^2+b^2) \ge (asinx+bcosx)^2$
$a^2+b^2 \ge c^2 \ \ \ \ \square$

$x^2+x-6=(x+\frac{1}{2} )^2-\frac{25}{4} $
เป็นกราฟพาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่ $(-\frac{1}{2} ,-\frac{25}{4})$
ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $-\frac{25}{4}$
ส่วนค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ที่ค่า $x=3$ เท่ากับ $6$

ผลรวมระหว่างค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของค่า $f(a)$ เท่ากับ $-\frac{1}{4}$
จะใช้แคลคลูลัสก็ได้

ข้อนี้ผมชอบแบบนี้นะ สวยดี

สร้าง $\theta \in [0,2 \pi )$ ซึ่ง $\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ และ $\sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

ได้ว่าสมการเดิมคือ $\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin (x+ \theta )=-c$

แต่ $|\sin (x+ \theta)| \le 1$ ดังนั้น $|c| \le |\sqrt{a^2+b^2}|$

ได้ $a^2+b^2 \ge c^2$

(ในกรณีที่ $a=b=0$ สมการมีคำตอบเมื่อ $c=0$ ซึ่งก็สอดคล้องเงื่อนไข)

ถ้ากำหนดแบบคุณ PP_nine ผมว่าค่า $a=b=0$ ไม่ได้ครับ เพราะไม่มีมุมค่าเดียวที่ทำให้ทั้งค่า $sin$ และ $cos$ เป็นค่าที่เกิดจากการหารด้วยศูนย์พร้อมกัน นอกจากนี้มันไม่มีการนิยามค่าของ $\frac{0}{0} $ ด้วยนี่ครับ

ผมก็แยกกรณีที่ a=b=0 เอาไว้ในบรรทัดล่างสุดแล้วครับ :)