ถามโจทย์แคลคูลัส1 ครับ
 

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x +1}{\sqrt{x^2-1} } $

ข้อนี้คำตอบคือ infinity ใช่ไหมครับ แต่ว่าวิธีที่ผมทราบคือการใช้โลปิตาลหลายรอบมากๆ จึงอยากถามว่ามีวิธีที่คิดง่ายๆสวยๆหรือเปล่าครับ :please:

ใช้ Squeeze theorem ได้ไหม

ขอบคุณ แฟร์ และ Amankis มากครับ
ทีแรกผมคิดว่าอาจจะมีการแปลงรูปให้ง่ายกว่านี้:please:

กระจาย Taylor series ของ $e^x$ เอาก็ได้ครับ

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x +1}{\sqrt{x^2-1} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{e^x}{x} +\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} }=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x}{x}$
กระจาย Taylor's Series
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...}{x}=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}+1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+...=\infty $$

จริงๆตอบว่าลิมิตเท่ากับ $\infty$ ไม่ได้นะครับ ควรจะตอบว่า ลิมิตเข้าใกล้ $\infty$ แทน

ไม่แน่ใจว่าการหาลิมิตใช้คำว่าเท่ากับได้หมดหรือเปล่าอ่ะครับ แต่จำได้ว่าถ้าเป็นแบบนี้จะใช้เท่ากับไม่ได้อ่ะครับ

ขอบคุณครับ ^^

สมัยผมเเรียนลองทำเองแล้วตรวจคำตอบด้วยเครื่องคิดเลข ดูว่าตรงไหม สนุกดีเหมือนกันนะ เอาไว้ซ้อมเตรียมสอบด้วย

มี fact หนึ่งที่มีประโยชน์คือ "for a>1 and n=real, exponential $a^x$ grows faster than polynomial $x^n$"
เขียนในรูปลิมิตคือ $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{x^n} = \infty $
และ $ \frac{e^x+1}{x} \leqslant \frac{e^x+1}{\sqrt{x^2 -1} } \leqslant \frac{e^x+1}{\sqrt{x} } $ for large enough x
take limit $x\rightarrow \infty $ เข้าไป แล้วใช้ Squeeze Theorem ก็จะสรุปได้ครับ