Riemannian geometry
 

ผมเคยได้ยินมาจากอาจารย์ณรงค์ ปั้นนิ่ม ว่า วิชา "คณิตศาสตร์" ไม่เกี่ยวกับตัวเลข ไม่เกี่ยวกับตัวแปร แต่มันคือกระบวนการคิด แต่เพียงเอาตัวเลขและตัวแปรมาเป็นแม่แบบผมอ่านวิชาหนึ่งในคณิตศาสตร์ คือ Riemannian geometry
มันเป็นวิชาที่ทำให้ผมเห็นถึงกระบวนการ ที่ซับซ้อนขึ้นตามลำดับ ทั้งสมมาตรเวกเตอร์บนมานิโฟลด์ มานิโฟลด์ย่อย เวกเตอร์ควบคู่ orientability, curvature,tangent manifold มันใช้ทั้งพื้นฐาน Euclidean space,Group theory,manifold พอยิ่งนึกภาพมันยิ่งซับซ้อน ผมจำคนที่คิดทฤษฎีบทต่างๆไม่ค่อยได้ครับ แต่จะอ่านแนวคิดไป ว่าต่างกันหรือมีหลักเกณฑ์ยังไง มีกระบวนวิธีคิดแบบไหน ผมเคยกังวลว่าถ้าเราอ่านมันไวไปจะจำมันได้หมดไหม แต่พอผมมานั่งคิดดูผมคิดว่าถ้าเรียนคณิตศาสตร์แบบรู้แนวคิดว่ามันเป็นแบบนี้ นึกภาพออกว่าเป็นยังไง แบบนี้ถือว่าผมเข้าใจในคณิตศาสตร์ ไหมครับ ผมอยากยกแนวคิดในคณิตศาสตรํไปต่อยอดในฟิสิกส์ครับ

ฅนทั่วไป สมควรมีความรู้คณิตฯ แบบกว้าง ครับ
คือ รู้ว่า แต่ละเรื่องพูดประเด็นอะไร ขอบเขตแค่ไหน ข้อจำกัดอย่างไร
เพื่อนำไปใช้ให้เหมาะสม


Riemannian geometry was first put forward in generality by Bernhard Riemann in the 19th century.
It deals with a broad range of geometries whose metric properties vary from point to point,
including the standard types of non-Euclidean geometry.

Every smooth manifold admits a Riemannian metric, which often helps to solve problems of differential topology.
It also serves as an entry level for the more complicated structure of pseudo-Riemannian manifolds,
which (in four dimensions) are the main objects of the theory of general relativity.
Other generalizations of Riemannian geometry include Finsler geometry.

There exists a close analogy of differential geometry with the mathematical structure of defects in regular crystals. Dislocations and disclinations produce torsions and curvature.[1][2]