โจทย์การใช้การจัดหมู่กับการเรียงสับเปลี่ยน nCr กับ nPr ค่ะ
 

โจทย์ : ในการให้รางวัลเรียนดีแก่นักเรียนที่มีความเก่งในแต่ละสาขา โดยสุ่มทั้งหมด 5 สาขาวิชา จากนักเรียนทั้งหมด 30 คน จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดรางวัลให้แก่นักเรียน
ถ้านักเรียน 1 คน ได้รับรางวัลเพียงรางวัลเดียว

วิธีทำ ข้อนี้เฉลยว่าใช้ nPr คือ 30 P 5 = 17100720 วิธี


อยากทราบว่าทำไมข้อนี้ถึงใช้ nPr ไม่ใช่ nCr หรอคะ

แล้วเราจะทราบได้อย่างไร มีข้อสังเกตตรงไหน ว่าเมื่อไหร่ต้องใช้ nCr หรือ nPr ในการทำโจทย์ค่ะ
ขอบคุณมากค่ะ

โจทย์คือ จงหาวิธีการจัดรางวัลให้แก่นักเรียน 5 คน

ขั้นแรก เลือกนักเรียนมาก่อน 5 คน จาก 30 คน ได้ $\binom{30}{5}$
ขั้นที่ 2 ตอนนี้มีคนแล้ว 5 แต่ใครจะเป็นคนรับรางวัลอันไหนละ? เช่นมี ลูกอม 1 ลูกอม 2 . . . ลูกอม 5 ซึ่งสามารถเรียงสับเปลี่ยนได้ $5!$ วิธี

ตอบ $\binom{30}{5}5!=30P5$

ต่างกันที่ลำดับ คิดว่าสำคัญ หรือ ไม่สำคัญครับ.

nPr คือ มีของต่างกัน n สิ่ง นำมาเรียงทีละ r สิ่ง เป็นเส้นตรง
(หรือ มีของต่างกัน n กลุ่ม นำมาเรียงทีละ r กลุ่ม เป็นเส้นตรง)

เช่น มีคน 3 คนสมมติเป็น A, B, C นำมาเรียงทีละ 2 คน เป็นเส้นตรง

จะมี AB, BA, AC, CA, BC, CB หรือ $3 \times 2$ แบบ

nCr คือ มีของต่างกัน n สิ่ง เลือกมาทีละ r สิ่ง โดยเลือกมาพร้อม ๆ กัน ใครจะมาก่อนหรือมาทีหลัง ไม่สนใจลำดับการมาก่อนมาหลัง

(หรือ มีของต่างกัน n กลุ่ม เลือกมาทีละ r กลุ่ม)

เช่น มีคน 3 คนสมมติเป็น A, B, C เลือกมาทีละ 2 คน
จะมี AB, AC, BC หรือ $\frac{3\times 2}{2\times 1}$ แบบ
(AB เหมือนกับ BA เป็นต้น.)

ปล. ถ้าอ่านหนังสือเอง ไม่แนะนำให้อ่านหนังสือที่เริ่มต้น เอาแต่เน้นใช้ nPr กับ nCr แบบเป็นสูตรนะครับ ;)

ที่บอกว่า $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$
กับ $nCr = \frac{n!}{(n-r)! r!}$

ห้ามใช้เด็ดขาดเลยสำหรับมือใหม่ เพราะจะไม่เข้าใจ และกลายเป็นมั่วตั้วในที่สุด

ให้เลือกหนังสือที่เน้นอธิบายโดยใช้กฎพื้นฐานคือกฎการบวก กับ กฎการคูณ ก่อนครับ.

ขอย้ำว่าเรื่องนี้สำหรับคน ที่ชอบใช้สูตร โดยไม่เข้าใจที่มา ไม่ย้ำความเข้าใจให้ลงลึกไปถึงแก่น

คุณจะเรียนเรื่องนี้ไม่รู้เรื่อง และมั่วสุด ๆ ครับ. :) คือถ้าพื้นฐาน มั่วแล้ว จะไปคิดอะไรต่อ ก็ผิดหมดครับ

ตอนนั้นจะยิ่งแก้ไขยากจนอาจจะแก้ไม่ได้แล้วครับ ถ้าไม่นั่งจี้ทีละตัวทีละแนวคิด:laugh:

คือในความคิดผม เอาง่ายๆเลย
การให้รางวัล(ถ้าได้แล้วจะไม่ได้อีก) =เอาคนมาเรียง (เพราะจะได้ได้รางวัลคนละชิ้น ไม่ซ้ำ)
ก่อนให้รางวัลผม เอาเด็กมานั่งที่นั่ง5ที่นั่ง
เด็ก30คนมีโอกาสที่จะเข้ามานั่งเก้าอี้
ที่นั่ง1 เด็กมีโอกาสนั่งได้ 30คน
ที่นั่ง2 เด็กมีโอกาสนั่งได้ 29คน (เด็กที่ได้รางวัล นั่งไปแล้ว)
ที่นั่ง3 เด็กมีโอกาสนั่งได้ 28คน
ที่นั่ง4 เด็กมีโอกาสนั่งได้ 27คน
ที่นั่ง5 เด็กมีโอกาสนั่งได้ 26คน
โอกาสทั้งหมด มี (30)(29)(28)(27)(26)=30P5

แล้วทำไมถึงไม่ใช่ nCr - ก็เพราะว่า คำว่า 5 สาขาวิชา หมายถึงเด็กทุกคนอะสามารถจะเข้ามาสอบ 5วิชา(พูดง่ายๆคือ เด็กไม่ได้ถูก เลือก (nCr) มาเพื่อเข้าสาขา แต่ทุกคนสอบทุกสาขา แล้วเข้ามาเอารางวัล)
ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกว่า ห้ามรับรางวัลเกิน1 ก็ไม่ใช้ nCr เช่นกัน แต่ กลายเป็น $30^5$ เพราะทุกคนมีโอกาสได้รางวัล

nPr คือ การจัดลำดับ (Permutation) มีของต่างกัน n ตัว เลือกออกมา r ตัว ให้มาเรียงสลับตำแหน่งกันเป็นหน้ากระดาน หรือเส้นตรง เช่น
A = {a,b,c,d}
ถ้าให้หาจำนวนวิธีเรียกสลับสมาชิกของ A ทั้ง 4 ตัว แบบหน้ากระดานจะได้ดังนี้
ตำแหน่งที่ 1 2 3 4
มีโอกาสเลือกสมาชิก 4 3 2 1 ตัว
จะได้จำนวนวิธีในการเรียงลำดับทั้งหมดเท่ากับ 4x3x2x1 = 24 วิธี (หรือเค้านิยมเรียกกันว่า 4!) เขียนเป็นสูตรได้ n!

แต่ถ้าให้เลือกสมาชิกใน A มาแค่ 2 ตัว แล้วจัดเรียงลำดับจะเป็นแบบนี้
ตำแหน่งที่ 1 2 (สังเกตว่าจะเหลือตำแหน่งให้เรียงแค่ 2 ตำแหน่ง)
มีโอกาสเลือกสมาชิก 4 3 ตัว
จะได้จำนวนวิธีในการเรียงลำดับทั้งหมดเท่ากับ 4x3 = 12 วิธี จะเห็นว่าแบบนี้ใช้สูตร n! ไม่ได้(อ่านโจทย์ก็รู้อยู่แล้วว่าใช้ไมได้ -__-!!)
แต่ถ้าลองสังเกตุจากจำนวนวิธีในการเรียงลำดับด้านบน มันคือการนำ n! หารออกด้วยตำแหน่งที่เราไม่ได้สนใจ คือ ตำแหน่งที่ 3 และ 4 นั้นเอง
ซึ่งจำนวนวิธีเรียงลำดับที่เราไม่สนใจ คือ (n-r)! นั้นเอง สรุปเลยได้ สูตร nPr = n! / (n-r)! ครับ ^__^ (สูตรนี้ใช้กับคำถามด้านบนได้ด้วย)
[แต่แบบนี้น่าจะงงๆ ผมเขียนเองยังงงตัวเองเลย -__-!! ถ้างง ก็ให้ย้อนกลับไปดูความเห็นของพี่ๆ ด้านบนนะครับ ]

nCr คือ การจัดหมู่ ซึ่งไม่แคร์เกี่ยวกับลำดับ เช่น A={a,b,c,d} ถ้าให้จัดลำดับสมาชิกของ A ทั้ง 4 ตัว ก็จะได้ 24 แบบ (ใช้ nPr)
แต่ถ้าให้จัดหมู่หรือเลือกกลุ่ม ที่มีสมาชิก 4 ตัว จาก A จะได้แค่วิธีเดียว เพราะว่า A มันมีสมาชิกแค่ 4 ตัวเท่านั้น จะเอาตัวไหนเรียงซ้ายขวาก็ไม่เกี่ยว จะสนใจแค่ว่ามีสมาชิกอะไรอยู่ในกลุ่มแค่นั้น โดยสูตรของ nCr คือ n! / [(n-r)! x r!] (สังเกตว่ามันก็คือ สูตร nPr นั้นแหละ แต่แค่คูณเตัวหารด้วย r! เพิ่ม)
ที่ต้องหารด้วย r! เพิ่มเพราะว่าต้องกำจัดวิธีเรียงซ้ำๆของสมาชิกกลุ่มเดิมออกไป

ขอบคุณทุกท่านมากเลยนะคะ ^____^

คำว่าเด็กไทย ทำให้คิดไปว่าไม่ต้องเก่งมากมายก็ได้ สามารถอยู่ได้ดีในอนาคตก็ถือว่าประสบความสำเร็จแล้ว

สมัยมเรียนเจอสมการเรื่อง Combinatorics ก็ฉงล ถึงที่มา วิธีคิดของผู้แต่งตำรา จะแต่งหนังสืออย่างเค้าก็ต้องเกิดต่างประเทศ

อย่างน้อยก็เรียนต่างประเทศมาจะเพิ่มราศีให้แก่เรามากๆ

แต่อนาคตก็ไม่แน่เสมอไป ขนาดวงการการศึกษาแล้วด้วยนะ