โจทย์ logarithm ครับ
 

จงหา ln(-1)^i ลองคิดดู สนุกดีๆ

เอาง่ายๆนะครับ หากใครเจอที่ผิด บอกด้วยครับ
ให้ \(x=ln(-1)^i\) ดังนั้นจะได้ \(e^x=(-1)^i \Rightarrow e^{ix}=-1=e^{i\pi}\) อันหมายถึง \(x=\pi\) เป็นหนึ่งคำตอบที่เป็นไปได้
แต่ถ้าจำไม่ผิด ฟังก์ชัน ln นิยามบนจำนวนจริงบวกไม่ใช่หรือครับ

เป็นข้อสอบพื้นฐานวิศวกรรมอ่าคับ

อันนี้ไม่แน่ใจว่าจะมีค่าได้รึเปล่านะครับเพราะว่าใน Complex analysis
เราจะสามารถนิยามฟังก์ชัน ln ให้มีโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน ได้เป็น
\[ \ln z = \ln \mid z \mid + j arg(z) \] โดยที่ \( j= \sqrt{-1}\) และ \( arg(z) \ \) เป็นอาร์กิวเมนต์มุขสำคัญ
แต่ว่าจะไม่ต่อเนื่อง เมื่อ z =0 หรือ อยู่บนแกน -x
ทำไปจะพบว่าเกิดปัญหา ดังนี้
ใช้สมบัติของ ln เอาเลขชี้กำลังลงมาก่อนซึ่งจะได้ว่า
\[ \ln ( -1 )^j = j \ln( -1 ) = j ( \ln \mid -1 \mid + j \pi )\]
ดังนั้นจะได้ว่า \[ \ln ( -1 )^j = -\pi \]
หรือ
\[ \ln ( -1 )^j = j \ln( -1 ) = j ( \ln \mid -1 \mid - j \pi )\]
ดังนั้นจะได้ว่า \[ \ln ( -1 )^j = \pi \]
ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเราจะเลือก \( arg(z) \) เป็นเท่าใด

\[\ln(-1)^i= i\ln(-1)= i\ln e^{\displaystyle{(2n+1)\pi i}}=i\cdot(2n+1)\pi i=-(2n+1)\pi,\quad n\in \mathbb Z \]ถ้าเลือก principal branch นั่นคือ n = 0 จะได้คำตอบคือ -p ถูกมั้ยครับ

log เป็น multivalued function บนระนาบเชิงซ้อนครับ (เป็นแค่ความสัมพันธ์) และไม่สามารถนิยามให้เต็มทั้งระนาบด้วยครับ ( มองในฐานะอินเวอร์สฟังก์ชันของ exp) จึงต้องมีการจำกัดขอบเขตกันหน่อยเพื่อให้มันมีคุณสมบัติเป็นฟังก์ชัน อย่างที่หลายๆคนกล่าวมาแล้ว ต้องเลือกว่าจะใช้ branch ยังไงครับ :)