กรณฑ์
ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนตรรกยะที่แตกต่างกัน โดยที่ $\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2} +1)} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$ จงหาค่า $abc$
ทำยังไงครับ เป็นโจทย์ของเตรียมอุดมครับ |
.......เท่าที่วิเคราะห์ดู ค่า $\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}+1) } $ แยกเป็นผลบวกของรากที่สามของ a,b,c น่าจะได้ค่า a,b,c ที่มีอย่างน้อยจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ
.......แต่ถ้าลองเปลี่ยนค่าเป็น $\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}-1) } $ จะสามารถหาค่า a,b,c ที่เป็นจำนวนตรรกยะได้ทั้งหมด คือ $$ \sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}-1) }=\sqrt[3]{\frac{1}{3} } +\sqrt[3]{-\frac{2}{3} }+\sqrt[3]{\frac{4}{3} } $$ นอกจากนี้ยังมีเอกลักษณ์ที่คล้ายๆกันอีก ไม่รู้มีใครค้นพบหรือยัง? $$\sqrt[3]{\frac{3}{2} (\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5} }{2} }+\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5} }{2} }-2) }=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi }{5} } +\sqrt[3]{cos\frac{4\pi }{5} }+\sqrt[3]{cos\frac{5\pi }{3} } $$ |
อ้างอิง:
แล้วก็ข้างล่าง สงสัยว่าทำไมต้องทำเป็น $cos\dfrac{5\pi }{3}$ ครับ เพราะมันก็เท่ากับ $cos\dfrac{\pi }{3}$ |
อ้างอิง:
สมการที่อยู่ในรูป $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{P} $ โดยที่ $\alpha ,\beta ,\gamma ,P เป็นจำนวนจริง$ เราสามารถหาค่าของ $P$ ในรูปของ $\alpha ,\beta ,\gamma $ได้ตามพหุนามกำลังสามนี้ครับ $$2P^3-(36r+6L_3)P^2+(54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6)P+2(3r-L_3)^3=0........(a)$$ เมื่อ $r=\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma } $ $L_3=\alpha +\beta +\gamma $ $L_6=\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2$ อย่างเช่นถามว่า $\sqrt[3]{1 } +\sqrt[3]{-2} +\sqrt[3]{4 } =?$ จะได้ $\alpha =1,\beta =-2,\gamma =4$ $r=-2........,L_3=3........,L_6=21$ สร้างพหุนามกำลังสาม$P$ได้คือ $2P^3+54P^2+486P-1458=0$ หรือ $P^3+27P^2+243P-729=0$ แก้สมการได้ $P=9(\sqrt[3]{2} -1)$ .........แสดงว่า $\sqrt[3]{1 } +\sqrt[3]{-2} +\sqrt[3]{4 } =\sqrt[3]{9(\sqrt[3]{2} -1)} $ ทีนี้กลับมาที่โจทย์ $\sqrt[3]{\alpha } +\sqrt[3]{\beta } +\sqrt[3]{\gamma } =\sqrt[3]{3(\sqrt[3]{2}+1) } $ แสดงว่าค่า $P=3(\sqrt[3]{2}+1)$ $P=3\sqrt[3]{2}+3$ $P-3= 3\sqrt[3]{2}$ $(P-3)^3=54$ $P^3-9P^2+27P-81=0$ หรือ $2P^3-18P^2+54P-162=0...............(1)$ นำสมการ (1) ไปเทียบสัมประสิทธิ์กับ (a) ดู $36r+6L_3=18...,54r^2-21L_3^2+18rL_3+27L_6=54....,2(3r-L_3)^3=-162$ แต่เท่าที่ลองเช็คดู ค่า $L_3ได้เป็นจำนวนอตรรกยะ$ แสดงว่า $\alpha +\beta +\gamma =อตรรกยะ$ ผมก็เลยเดาว่าค่า $\alpha ,\beta ,\gamma $อย่างน้อยต้องมีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นอตรรกยะ |
ถ้าพอมีเวลาผมจะลงวิธีหารากที่สามของฟังก์ชันcosอย่างละเอียดเลยครับ......
วิธีการหาพวกค่ารากที่สามของจำนวนจริงพวกนี้ ผมต้องยกเครดิตให้กับวิธีของ Newton's relation ผมแค่ศึกษาและเพิ่มมุมมองเข้าไปอีกทีหนึ่งครับ ถ้าผิดพลาดตรงไหนขออภัยด้วยครับ:) |
อ้างอิง:
ฟังก์ชันcosในรูปรากที่สามครับ $$cos\frac{\pi}{9} =\frac{1}{2} \sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+...+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{1+3\sqrt[3]{4} } } } } } $$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
\[\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2}+\sqrt[3]{\eta_3}=\sqrt[3]{\eta}\Longrightarrow \eta=\wp_1+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}(\sqrt[3]{\eta_1}+\sqrt[3]{\eta_2})+6r=\wp_1+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}-3r\Longrightarrow \sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}=\dfrac{1}{3}\left(\eta-\wp_1+3r\right)\] Then we obtain the cubic degree polynomial \[\dfrac{1}{27}\Big(\eta-\wp_1+3r\Big)^3=\eta\Big(\dfrac{\wp_2-\wp_1^2}{2}\Big)+3\sum_{cyc}\sqrt[3]{\eta_1\eta_2}\sqrt[3]{\eta}-3\eta r^2=\eta\Big(\dfrac{\wp_2-\wp_1^2}{2}\Big)+\eta-\wp_1+3r-3\eta r^2\] |
อ้างอิง:
$$cos\frac{\pi}{9} =\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} $$ ...โดยที่ $ a_n=3a_{n-2}+a_{n-3}$ ...และมีพจน์เริ่มต้น $a_1,a_2และa_3$ที่เหมาะสม ขอบคุณครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:38 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha