TUMSOs 6th น่าสนใจ (มั้ง)
 

สำหรับจำนวนเต็มบวก $a,b$ ใดๆ ให้ $(a)_b$ เป็นพหุคูณของ $b$ ที่มีค่าใกล้เคียง $a$ มากที่สุด สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ ใดๆ ให้ $f(k) = (k)_3+(2k)_5+(3k)_7-6k$

จงหา $R_f$

Solution จากโจทย์จะได้ว่า

$(a)_b=b\big\lceil \dfrac{a}{b} \big\rceil$

$\therefore f(k)=3\big\lceil \dfrac{k}{3}\big\rceil+5\big\lceil\dfrac{2k}{5} \big\rceil+7\big\lceil\dfrac{3k}{7} \big\rceil-6k$

โดย division algorithm

ให้ $k=105p+r$ โดยที่ $p,r \in \mathbb{Z} $ และ $0\leq r <105$

$f(k)=3\big\lceil\dfrac{105p+r}{3}\big\rceil+5\big\lceil\dfrac{2(105p+r)}{5}\big\rceil+7\big\lceil \dfrac{3(105p+r)}{7}\big\rceil-6(105p+r)$

$f(k)=3\big\lceil 35+\dfrac{r}{3} \big\rceil+5\big\lceil 42+\dfrac{2r}{5} \big\rceil+7\big\lceil45+ \dfrac{3r}{7}\big\rceil-6(105p+r)$

$f(k)=3\big\lceil\dfrac{r}{3}\big\rceil+5\big\lceil \dfrac{2r}{5} \big\rceil+7\big\lceil \dfrac{3r}{7} \big\rceil -630p+630p-6r$

$f(k)=3\big\lceil \dfrac{r}{3}\big\rceil+5\big\lceil \dfrac{2r}{5}\big\rceil+7\big\lceil \dfrac{3r}{7} \big\rceil-6r$

จาก $x-1\leq \big\lceil x\big\rceil<x+1$

$\therefore -15=3(\dfrac{r}{3}-1)+5( \dfrac{2r}{5}-1 )+7(\dfrac{3r}{7}-1)-6r\leq f(k)=3\big\lceil\dfrac{r}{3} \big\rceil+5\big\lceil \dfrac{2r}{5}\big\rceil+7\big\lceil \dfrac{3r}{7} \big\rceil-6r<3(\dfrac{r}{3})+5( \dfrac{2r}{5})+7(\dfrac{3r}{7})-6r=0$

$\therefore -15\leq f(k)<0$

$\therefore R_{f}\in [-15,0)$ :great:

ไม่จำเป็นนี่ค่ะ :)

$\displaystyle\left(a\right)_b=b\left\lfloor\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ โดยที่ $b\geq 3$

เพราะว่า $\displaystyle\left\lfloor a+\frac{1}{2}\right\rfloor$ เท่ากับจำนวนเต็มที่ใกล้เคียง $a$ ที่สุด (ยกเว้นกรณี $\displaystyle\left\{a\right\}=\frac{1}{2}$ ซึ่งมันอยู่ตรงกลางระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนที่ติดกันพอดี

ขอโทษครับ ผมคิดผิดจริงๆด้วย :wacko:
ขอบคุณพี่ๆทั้งสองมากนะครับที่ให้คำแนะนำ :please: