ข้อ 7.

Attachment 4586

ให้ $AE=x$

$\therefore BE=2x$

จากสามเหลี่ยม $AEC$

กฎของไซน์ จะได้ว่า $EC=(\sqrt{3}+1)x$

ทำให้ $BC=(3+\sqrt{3})x$

$\therefore \frac{EC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

ข้อ 30)
จาก $f(n+1)-f(n)=3n+2$ จะได้ว่า
$f(0)-f(1)=3(-1)+2$
$f(-1)-f(-2)=3(-2)+2$
$f(-2)-f(-3)=3(-3)+2$
$.$
$.$
$.$
$f(-99)-f(-100)=3(-100)+2$
จะได้ว่า $f(0)-f(-100)=-3(1+2+3+...+100)+200$
แทนค่า $f(-100)=15000$
จะได้ว่า $f(0)=50$

48. $(1+bi)^3 = 1+3bi - 3b^2 - b^3i = 1-3b^2 +i(3b-b^3)$
เทียบ สัมประสิทธิ์ $1- 3b^2 = -107 , b = 6,-6$
$ \left|\,\right. k\left|\,\right. = 3b-b^3 = 198$

ข้อ 12

จะได้ $ BA = \bmatrix{x+y&x-y\\y+z&y-z} $

จาก $A^{-1}BA = \bmatrix{-2&0\\0&4\\}$

$BA = \bmatrix{1&1\\1&-1\\} \bmatrix{-2&0\\0&4\\} $

$BA = \bmatrix{-2&4\\-2&-4\\}$

$\bmatrix{x+y&x-y\\y+z&y-z} = \bmatrix{-2&4\\-2&-4\\}$

เทียบออกมาได้$ x = 1, y = -3, z = 1$

$\therefore xyz = -3 $ ตอบ 1.

49. ให้ลำดับเรขาคณิตที่เรียงติดกันคือ $a,ar,ar^2$
$(ar)^3 = 343 , ar = 7$
$a+ar+ar^2 = 57 , a(r^2 + 1) = 50 , \frac{7}{r}(r^2+1) = 50 , r = 7,\frac{1}{7}$
$r = 7 , a = 1 , ar = 7 ar^2 = 49$
$r = \frac{1}{7} , a = 49 , ar = 7 , ar^2 = 1$

ค่ามากที่สุดในบรรดาสามจำนวนนี้คือ $49$

ข้อ 24

ได้ $ E = 1$ แน่ๆ

จากนั้นลองกรณีหลักสิบไม่โดนทด จะได้คู่ $6$ และ $4$

ทำให้ได้ $A = 4, B = 3, C = 6, D = 2, G = 5$ พอดีเลย

$A + B = 7$ ข้อ 3. ครับ

ข้อ 47. หา $f(f'(f''(2553)))$

$f(2x+1) = 4x^2 + 14x$

แทน $x $ ด้วย $\frac{x-1}{2}$

จะได้ $f(x) = x^2 + 5x - 6 $ --------1

ดิฟ $f(x)$

$f'(x) = 2x + 5$ --------2

ดิฟ $f'(x)$

$f''(x) = 2$ ---------3

แทน $x = 2553 $ ใน 3

$f''(2553) = 2$

แทน $x = 2$ ใน 2

$f'(2) = 9$

แทน $x = 9$ ใน 1

$\therefore f(9) = (x+6)(x-1) = (15)(8) = 120 $ Ans.

ข้อ 39)
จาก $b_{n+1}=\dfrac{1+b_n}{1-b_n}$ และ $b_1=-3$
จะได้ว่า $b_2=-1/2,b_3=1/3,b_4=2,b_5=-3,b_6=-1/2,...$
สังเกตว่าเริ่มวน 4 ตัววน 1 ครั้ง ดังนั้น $b_{1000}=b_4=2$

Attachment 4587

Attachment 4624

Attachment 4591

Attachment 4590

ข้อที่ 29)
$(3x^2-11x+7)^{(3x^2+4x+1)}=1$
พิจารณากรณี $3x^2+4x+1=0$ จะได้ว่า $(3x+1)(x+1)=0$ นั่นคือ $x=-1/3,-1$
พิจารณากรณี $3x^2-11x+7=1$ จะได้ว่า $(3x-2)(x-3)=0$ นั่นคือ $x=2/3,3$
พิจารณากรณี $3x^2-11x+7=-1$ จะได้ว่า $(3x-8)(x-1)=0$ นั่นคือ $x=8/3,1$ แต่ $x=8/3$ ทำให้สมการไม่เป็นจริง
ดังนั้น $x=-1/3,-1,2/3,3,1$ มีทั้งหมด 5 คำตอบ

ขอบคุณมากครับ สำหรับการแบ่งปันสิ่งดี ๆ

Attachment 4593

Attachment 4594

ข้อ 42) จาก $f(x)=3x-5$ และ $g(x)=2x+1$ จะได้ว่า $f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}$ และ $g^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$
และ $g^{-1}(f^{-1}(a))=4$ จะได้ว่า $g^{-1}(\dfrac{a+5}{3})=4$ นั่นคือ $\dfrac{\dfrac{a+5}{3}-1}{2}=4$
จะได้ว่า $a=22$ ดังนั้น $f(g(2a))=f(g(44))=f(89)=652$

ข้อ 18 ขอแสดงความทุเรศแล้ว
% MathType!MTEF!2!1!+-

\[\begin{array}{l}
\\
from\quad \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{{\sqrt {x + 3} + 2}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}}\\
x = 1\quad \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \frac{{\sqrt 1 + 1}}{{\sqrt {1 + 3} + 2}} = \frac{1}{2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{{\left| 1 \right| + 7}} = \frac{1}{2}\\
then\quad f\left( 1 \right) = 4\quad \Rightarrow g\left( {f\left( 1 \right)} \right) = g\left( 4 \right) = \frac{{\sqrt {4 + 3} - 2}}{{\sqrt 4 - 1}} = \sqrt 7 - 2
\end{array}\]