ขอเฉลยละเอียดข้อ 45 ได้มั้ยครับ อยากรู้วิธีทำมากมาย~!!

ข้อ 39


$b_{n+1} = \frac{1+b_n}{1-b_n}$

$b_n = \frac{1+b_{n-1}}{1-b_{n-1}}$

$b_{n+1} = \frac{1+\frac{1+b_{n-1}}{1-b_{n-1}}}{1-\frac{1+b_{n-1}}{1-b_{n-1}}}$

$b_{n+1} =\frac{-1}{b_{n-1}} \rightarrow b_{n+1}b_{n-1} = -1$

$b_{n-1}b_{n-3} = -1$.....จะได้ว่า$b_{n+1}=b_{n-3}$

มีการซ้ำกันของตัวเลขทุก 4 รอบ

$b_1= -3 $
$b_2= -\frac{1}{2} $
$b_{1000}b_{998}= -1$
$b_{998}b_{996} = -1$....จะเห็นว่า$b_{1000} = b_{996}$
$b_{1000} = b_4$
$b_4b_2=-1$
$b_{1000}=b_4 =2$

$(log_ba)(log_dc)=1 \rightarrow \dfrac{\log a}{\log b}\dfrac{\log c}{\log d} =1 $

$\quad a^{log_bc-1} \quad b^{log_cd-1} \quad c^{log_da-1} \quad d^{log_ab-1}$

$= \dfrac{a^{log_bc}}{a} \dfrac{b^{log_cd}}{b}\dfrac{c^{log_da}}{c} \dfrac{d^{log_ab}}{d} $

$log_bc=log_ad$
$log_cd=log_ba$
$log_da=log_cb$
$log_ab=log_dc$

$= \dfrac{a^{log_ad}}{a} \dfrac{b^{log_ba}}{b}\dfrac{c^{log_cb}}{c} \dfrac{d^{log_dc}}{d}$

$= \dfrac{d}{a} \times \dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{c} \times \dfrac{c}{d}$

$=1$

$a_{15}-a_{13} =2d =3 \rightarrow d=\frac{3}{2} $

$a_1+a_2+...+a_m=m(a_1+\frac{d(m-1)}{2} )=325$
$m(4a_1+3(m-1))=1300$...........(1)

$a_1+a_2+...+a_{4m}=4m(a_1+\frac{d(4m-1)}{2} )=4900$
$m(a_1+\frac{d(4m-1)}{2}) = 1225$
$m(4a_1+3(4m-1)) =4900$........(2)

(2)-(1) $3600 = 9m^2$
$m=20$
$8a_1+114=130 \rightarrow a_1 = 2 $

$a_{40}=a_1+39d = 2+39 \times \frac{3}{2}= \frac{121}{2} $

ข้อนี้โจทย์ยาว แต่วิธีทำสั้นนิดเดียว
สมมุติให้ลำดับนี้มีทั้งหมด $n$ พจน์ และ$n$ เป็นจำนวนเต็มคู่
แปลงสิ่งที่โจทย์ให้ออกมาให้เห็นชัดๆก่อน
$a_1+a_3+a_5+...+a_{n-1} = 36$
$a_2+a_4+a_6+...+a_n = 56$
$(a_2-a_1)+(a_4-a_3)+(a_6-a_5)+...+(a_n-a_{n-1} ) = 20$

$\overbrace{d+d+d+..+d}^{\frac{n}{2} พจน์ } = 20 $

$\frac{nd}{2}=20 \rightarrow nd=40$
$a_n-a_1=(n-1)d =38$
$nd-d=38$
$40-d=38$
$d=2$
ดังนั้น $n=20$
ลำดับนี้มีทั้งหมด $20$ พจน์

มาพิจารณา$3\sqrt{\cos(\pi \sqrt{x^2+7} )-1} $ ซึ่ง $\cos(\pi \sqrt{x^2+7} )-1 \geqslant 0$

$\cos(\pi \sqrt{x^2+7} ) \geqslant 1$ แต่$-1 \leqslant cos\theta \leqslant 1$

ดังนั้น$\cos(\pi \sqrt{x^2+7} )=1 =cos0,cos2n\pi$

แต่$\sqrt{x^2+7} >0$ ดังนั้น $\cos(\pi \sqrt{x^2+7} ) = cos2n\pi$

$\sqrt{x^2+7} = 2n$.....เก็บไว้ก่อน

สมการจะเหลือแค่ $log_2(-x^2+7x-10)=1$

$-x^2+7x-10=2 \rightarrow x^2-7x+12=0 $

$(x-3)(x-4)=0 \rightarrow x=3,4$

จากเงื่อนไขของ$log$ ดังนั้น$-x^2+7x-10 >0 \rightarrow x^2-7x+10<0$

$(x-2)(x-5)<0 \rightarrow 2<x<5$

ค่า$x$ ที่หามาได้จากสมการของlogใช้ได้ นำค่า$x$ที่ได้ไปแทนในสมการของ$cos$
มีค่า$x$ สอดคล้องกับ $\sqrt{x^2+7} = 2n$ คือ $x=3$ ได้ค่า$n=2$
ส่วนค่า $x=4$ ใช้ไม่ได้
ดังนั้น $B=\left\{\,3\right\} $
ผลบวกของสมาชิกในเซต $B$ เท่ากับ $3$

ข้อนี้ถูกแล้วหรือครับ

$f(89) = 3(89) - 5 = 262$

อาจจะทดเลขผิดหรือพิมพ์ผิดน่ะครับ จุดสุดท้าย

ผมก็เลยงงเลยครับ
เพราะคิดได้ 262
ข้อ 45 ต้องใช้สูตร
mode = 3(median)-2(mean)ก่อนใช่ไหมครับ
ถึงจะหาคำตอบได้
ผมได้ 56 ไม่รู้ว่าถูกไหมครับ

อยากได้ข้อ 32 กับ 37 อะครับ

ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่านะครับ

ข้อ 32 $$\sin 1^{\circ}\cdot \sin 2^{\circ}\cdot...\cdot\sin 89^{\circ} = \frac{2\sin 1^{\circ}\cos 1^{\circ}\cdot...\cdot 2\sin 44^{\circ}\cos 44^{\circ}\cdot \sin 45^{\circ}}{2^{44}}$$

$$\sin 1^{\circ}\cdot \sin 2^{\circ}\cdot...\cdot\sin 89^{\circ}=\frac{\sin 2^{\circ}\cdot \sin 4^{\circ}\cdot ...\cdot \sin 88^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ}}{2^{44}}$$

$$\sin 1^{\circ}\cdot \sin 3^{\circ}\cdot...\cdot\sin 89^{\circ}=\frac{\sin 45^{\circ}}{2^{44}}=\frac{1}{2^{\frac{89}{2}}}$$

$\therefore 4n=178$

ถูกผิดอย่างไรชี้แนะด้วยครับ :please::please::please:

ข้อ 37. แนวคิดก็คล้าย ๆ กับข้อสอบครั้งที่แล้วครับ.

$a_n = (\frac{n+1}{n-1})(a_1+a_2+...+a_{n-1})$

ดังนั้น $a_{n+1} = (\frac{n+2}{n})(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n) = (\frac{n+2}{n})[(\frac{n-1}{n+1})a_n + a_n] = 2(\frac{n+2}{n+1}a_n) ...(*)$

ดังนั้น $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2(\frac{n+2}{n+1})$

ดังนั้น $\frac{a_2}{a_1}\frac{a_3}{a_2}\frac{a_4}{a_3} ... \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^n (\frac{3}{2}\frac{4}{3}\frac{5}{4}...\frac{n+2}{n+1}) = 2^n(\frac{n+2}{2})$

$\frac{a_{n+1}}{a_1} = 2^{n-1}(n+2)$

$a_{n+1} = 2^n(n+2)$

จากสมการ (*) จะได้

$\frac{n}{a_1+a_2+...+a_n} = \frac{n+2}{a_{n+1}} = \frac{n+2}{2^n(n+2)} = \frac{1}{2^n}$

ข้อ 40

$$\sum_{n = 1}^{9999}\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1} )}= \sum_{n = 1}^{9999}\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1} )(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n})}$$

$$=\sum_{n = 1}^{9999}\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}$$

$$=\sqrt[4]{10000}-\sqrt[4]{1}$$

$$=9$$

ช่วยดูหน่อยครับ สทศ เฉลย ข้อ 1 เป็นจริงยังไง
 

ช่วยดูหน่อยครับ สทศ เฉลย ข้อ 1 เป็นจริงยังไง

Attachment 4959

ช่วยย้ายไปไว้กระทู้ข้อสอบ PAT 1 เดือนตุลาคม 2553 ด้วยครับ ผมไปกดปุ่มผิด เลยกลายเป็นตั้งหัวข้อใหม่ ขอบคุณครับ
done: nongtum

ผมคิดดังนี้ครับ
จากนิยามที่กำหนดให้ จะได้ว่า
ข้อความในตัวเลือก 1 คือ ถ้า $x=ky$ และ $y=kz$ แล้ว $x+y=kz$
จากสิ่งที่กำหนดให้ จะได้ $x+y=k(y+z)\rightarrow x+y=k(kz+z)\rightarrow x+y=k(k+1)z $ ไม่ตรงกับข้อสรุป

ข้อความในตัวเลือก 2 คือ ถ้า $x=ky$ และ $x=kz$ แล้ว $x=kyz$
จากสิ่งที่กำหนดให้ จะได้ $x^2=k^2yz\rightarrow x=k\sqrt{yz}$ ไม่ตรงกับข้อสรุป

ข้อความในตัวเลือก 3 คือ ถ้า $x=ky$ และ $x=kz$ แล้ว $x=k(y+z)$
จากสิ่งที่กำหนดให้ จะได้ $2x=k(y+z)\rightarrow x=\dfrac{k}{2}(y+z)$ ไม่ตรงกับข้อสรุป

ข้อความในตัวเลือก 4 คือ ถ้า $x=ky$ แล้ว $y=kz$
จากสิ่งที่กำหนดให้ $x=ky\rightarrow y=\dfrac{1}{k}x$ ไม่ตรงกับข้อสรุป