มาราธอน เตรียมสอบสิรินธร
 

มาคิดโจทย์เล่นๆกันครับใครตอบถูกตั้งคำถาม :)

ให้ $$x,y,k\in R $$ f เป็นฟังก์ชันที่
$$f(\frac{xf(0)-4}{x} )=\frac{24x-32}{x^3} เมื่อ f(0)ไม่เท่ากับ 0 $$
$$ y เป็นจำนวนคำตอบของ f(0) และ k=yx $$
$$จงหาค่าของ \int_{0}^{1}(\prod_{n = 0}^{y}(x-n))\,dk $$

แทน $x=\frac{4}{f(0)} $

$f(0)=(\frac{96}{f(0)}-32)(\frac{[f(0)]^3}{64})$

แก้สมการ ได้ $f(0)=1,2$

y=2 ดังนั้น $x=\frac{k}{2} $


$\int_{0}^{1}(\prod_{n = 0}^{y}(x-n))\,dk $

$= \int_{0}^{1}(x)(x-1)(x-2)\,dk$

$=\frac{1}{8} \int_{0}^{1}(k)(k-2)(k-4)\,dk$

$=\frac{1}{8} \int_{0}^{1}k^3-6k^2+8k\,dk$

$=\frac{1}{8} \frac{9}{4} $

$=\frac{9}{32}$

2.กำหนด $(x+\frac{1}{x}+1)( x+\frac{1}{x})=1$ จงหาค่าของ $(x^{20}+\frac{1}{x^{20}}+1)( x^{20}+\frac{1}{x^{20}})$

Let $\displaystyle a=x+\frac{1}{x}\rightarrow a^2+a=1$
so $\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2=-(a+1)$ and $\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=a=x^6+\frac{1}{x^6}$
Thus $\displaystyle a^2=\Big(x^4+\frac{1}{x^4}\Big)\Big(x^6+\frac{1}{x^6}\Big)=x^{10}+\frac{1}{x^{10}}+x^2+\frac{1}{x^2}$
Therefore $\displaystyle x^{10}+\frac{1}{x^{10}}=2\rightarrow \Big(x^{20}+\frac{1}{x^{20}}+1\Big)\Big(x^{20}+\frac{1}{x^{20}}\Big)=6$

3.Let $$\displaystyle f(x)+f(x+1)+f(x+2)+...+f(x+2013)=\Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big)$$
and $n\in\mathbb{N}$ such $\displaystyle \int_{1}^{2015} f(x)dx=n\cdot n!$ then find $\displaystyle \sqrt{\frac{n^4+n^2+1}{n^2+n+1}+2013}$

3.
$\displaystyle \int_{1}^{2015} f(x)dx= \int_{1}^{2}(f(x)+f(x+1)+f(x+2)+...+f(x+2013))dx$
$= \displaystyle \int_{1}^{2} \Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big) dx$

จาก $(uv)'=u'v+v'u$ สามารถขยายสูตรนี้ ให้อยู่ในรูปทั่วไป

สูตร

จะได้
$\displaystyle\dfrac{d}{dx}x(x+1)\cdots (x+2013)= \Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big)$

ดังนั้น
$\displaystyle \int_{1}^{2} \Big(\prod_{k=0}^{2013}(x+k)\Big)\Big(\sum_{k=0}^{2013} \frac{1}{(x+k)}\Big) dx = 2(2+1)\cdots (2+2013) - 1(1+1) \cdots (1+2013) = 2015!-2014! = 2014 \times 2014!$
$n=2014$

$\sqrt{\dfrac{n^4+n^2+1}{n^2+n+1}+2013}$ = $\sqrt{n^2-n+1+n-1}=n=2014$

4. 1) ในระนาบแกนมุมฉาก จะมีจุด 3 จุดหรือไม่ ที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม และทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
2) จากข้อ 1) จงหาจำนวนนับ $n$ ที่ไม่เกิน 15 ทั้งหมดที่จะสามารถเลือก 3 จุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม และทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยม ที่มีอัตราส่วนของด้านทั้งสามเป็น $n : n+1 : n+2$