Mathcenter Forum - อินเวอร์สฟังก์ชัน

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=3)

- - อินเวอร์สฟังก์ชัน (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12376)

อินเวอร์สฟังก์ชัน

$f(2x-1)=x^2+5x-1$ จงหา $f^{-1}(5)$
ใช่ตอบ 1 หรือ -13 หรือเปล่าครับ

ข้อนี้ถ้าคิดว่า f เป็นฟังก์ชัน จะถามหา $f^{-1}$ ไม่ได้ครับ เพราะ f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าหาอินเวอร์สฟังก์ชัน จะไม่เป็นฟังก์ชัน (เว้นเสียแต่จะเลือกช่วงมาช่วงหนึ่งที่ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง)

แต่ถ้าคิดว่าเป็นเพียงความสัมพันธ์เฉย ๆ คือ เปลี่ยนโจทย์เป็น $r(2x-1) = x^2+5x-1$ จะก็หา $r^{-1}(5)$ ได้และคิดได้ถูกต้องแล้วครับ.

เฉลยจากหนังสือ ตอบ 1 เขาใช้การแทนค่า x เท่ากับ 1 โจทย์ข้อนี้อยู่ในหัวข้อฟังก์ชันอินเวอร์สครับ โดยโจทย์ไม่มีเงื่อนไขใด ๆ แสดงว่าหนังสือแต่งผิดใช่ใหมครับ ( โจทย์ข้อนี้ใช้ f ไม่ใช่ r )

ในหนังสือน่าจะใช้วิธีนี้ครับ
$f(2x-1)=x^2+5x-1$
$2x-1=f^{-1}(x^2+5x-1)$ แทน $x=1$
$1=f^{-1}(5)$
หรือแทน x=-6 ก็จะได้ $f^{-1}(5)=-13$
แต่อย่างที่คุณ gon บอกครับ มันไม่เป็นฟังก์ชัน

ขอเสริมหน่อยครับ

ทุก ๆ ฟังก์ชัน $f$ ย่อมเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นย่อมหา $f^{-1}$ ได้เสมอ
เพียงแค่ว่า $f^{-1}$ ที่ได้จะเป็นฟังก์ชัน หรือไม่เป็นฟังก์ชัน
ถ้า $f^{-1}$ ไม่เป็นฟังก์ชัน เราจะเรียก $f^{-1}$ นั้นว่า เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f$
ถ้า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชัน เราจะเรียก $f^{-1}$ นั้นว่า เป็นฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NAKHON (ข้อความที่ 104232)

ถ้าเราดูนิยามของฟังก์ชัน
(http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function)

อ้างอิง:

A function f that has an inverse is called invertible; the inverse function is then uniquely determined by f and is denoted by $f^{-1}$

และ

อ้างอิง:

Let ƒ be a function whose domain is the set X, and whose codomain is the set Y. Then, if it exists, the inverse of ƒ is the function $f^{-1}$ with domain Y and codomain X, with the property:
$ f(x) = y$ if and only if $f^{-1}(y) = x$
Stated otherwise, a function is invertible if and only if its inverse relation is a function, in which case the inverse relation is the inverse function.

จากนิยาม จะเห็นว่าสัญลักษณ์ $f^{-1}$ ถูกจองไว้เฉพาะอินเวอร์สของ f เป็นฟังก์ชันเท่านั้น ดังนั้นในคำถามนี้ ผู้เขียนไม่ควรตั้งคำถามว่า $f^{-1}(5) = ?$ คือไม่มีสิทธิ์ใช้สัญลักษณ์ $f^{-1}$ โดยไม่ได้กำหนดโดเมนหรือช่วงมาให้ เพราะถ้าจะตอบก็ต้องมีเพียงคำตอบเดียว (แต่มันมี 2 คำตอบขึ้นอยู่กับช่วงที่เลือก)

แต่ถ้าต้องการให้ตอบได้หลายคำตอบ เราต้องใช้พวก multivalued function (ดูหัวข้อ Partial inverses) หรือนิยามของ preimage(ดูหัวข้อล่างสุดของ wiki นะครับ)

ผมมีความเห็นว่า ทุก ๆ ฟังก์ชัน $f$ ย่อมเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นสัญลักษณ์ที่ใช้แทนความสัมพันธ์ไม่จำเป็นต้องกำหนดขอบเขตอยู่แค่ $r$ อาจใช้สัญลักษณ์ $f$ แทนก็ได้ครับ
ดังนั้น $f$ ในคำถามลักษณะนี้จึงอาจใช้แทนความสัมพันธ์ก็ได้ครับ
จริง ๆ แล้ว สัญลักษณ์ $f(x)$ จะนิยามเฉพาะกรณีที่ $f$ เป็นฟังก์ชัน เท่านั้น ดังนั้นโจทย์ข้อนี้จะถาม $r^{-1}(5)$ ก็ไม่ได้อยู่ดี เพราะเป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้อง
ดังนั้นถ้าจะให้โจทย์มีความสมบูรณ์ ก็ต้อง กำหนดขอบเขตของโดเมนให้เป็นฟังก์ชัน ตามที่คุณ gon อธิบายมาถูกต้องแล้วครับ