general problem
 

จงหาจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 20 อักษรจากตัวa b c
โดยที่อาจไม่มี a เลยก้อได้ แต่ต้องมี b คี่ตัว และมี c เป็นจำนวนพหุคูนของ 4
โดยใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดในการ solve นะครับ

อนุญาตให้ไม่มี $c$ เลยได้ด้วยรึเปล่าครับ

ไ ด้ ค รั บ

จำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 20 อักษรจากตัว a มี generating function คือ $\displaystyle{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...=e^x}$
จำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 20 อักษรจากตัว b มี generating function คือ $\displaystyle {x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$
จำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 20 อักษรจากตัว b มี generating function คือ $\displaystyle {1+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^8}{8!}+...= ?}$ ยังหาไม่ได้ รบกวนช่วยด้วยนะคะ

ผมว่าบรรทัดนี้ผิดครับ

$\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos{x}$

แต่ $\cos{x}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$

แก้ไขแล้วนะคะ แต่ว่า $1+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots$ หาไม่ได้อ่ะค่ะ

ขอลองทำบ้างนะครับ
----------------
จำนวนวิธี = สปส. หน้า $x^{20}$ ของ $(1+x+x^2+...)(x+x^3+x^5+...)(1+x^4+x^8+...)$
= สปส หน้า $x^{19}$ ของ $(1+x+x^2+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^4+x^8+...)$

ให้ $f(x)=(1+x+x^2+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^4+x^8+...)$ และ $g(x)=(1+x+x^2+...)(1+x^2+x^4+...)$
$\therefore g(x)=\frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x^2}=(1-x)^{-2}(1+x)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k\cdot \sum_{k=0}^{\infty}(-x)^k$

ฉะนั้น พจน์ $x^n$ ของ $g(x)=\sum_{k=0}^{n}(k+1)x^k\cdot (-x)^{n-k}$
จะได้ สปส. หน้า $x^n$ ของ g(x) = $\sum_{k=0}^{n}(k+1)(-1)^{n-k}=\cases{\frac{n}{2}+1 & , n \textrm{ is even} \cr \frac{n+1}{2} & , n \textrm{ is odd}} $

ดังนั้น สปส. หน้า $x^{19}$ ของ $f(x)$= สปส. หน้า $x^{19}$ + สปส. หน้า $x^{15}$ + สปส. หน้า $x^{11}$ + สปส. หน้า $x^{7}$ + สปส. หน้า $x^{3}$ ของ $g(x)$
$=10+8+6+4+2$
$=30$

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดคือ 30 วิธี #