พิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (ใช่พิสูจน์จริงหรือเปล่าก็ไม่แน่ใจ)
 

พอดีผมคิดวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะได้โดยใช้หลักเพิ่มเข้าตัดออก, ความเข้าใจเรื่องลิมิต และสมบัติบางอย่างของอนุกรมฮาร์โมนิคโดยบังเอิญ พอดีผมเห็นว่ามันง่ายอย่างไม่น่าเชื่อ เลยลองเอามาให้ตรวจสอบดูกันก่อน และอยากจะสอบถามผู้รู้ด้วยว่ามีใครเคยพิสูจน์โดยใช้วิธีนี้มาก่อนหรือเปล่า แต่ว่าเท่าที่ผมหาดูแล้วมีแต่วิธียากๆ ทั้งนั้นเลย

ลิงค์ดูบทพิสูจน์ : http://www.mediafire.com/view/iy1p14...จำนวนเฉพาะ.pdf

เปิดดูผ่านๆ อย่างแรกเลยคือ มันเป็นกรณีเฉพาะของ Prime Number Theorem ครับ

เพราะสูตรของจริงนี่ใช้กับจำนวนจริงใดๆ แต่พอมองไปที่ส่วนอื่นก็เห็นข้อผิดพลาดอีกหลายจุดแต่อาจจะแก้ได้ครับ

ถ้างั้นคุณ nooonuii ช่วยบอกมาให้หน่อยครับว่าผิดพลาดตรงไหนบ้าง จะได้ปรับปรุง ส่วนเรื่องการขยายจากกรณีที่ $n$ อยู่ในเซต $\mathbb{N}$ ไปเป็นเซต $\mathbb{R}$ นั้นผมว่าน่าจะทำได้ไม่ยาก และสำหรับคนที่ไม่รู้จักสมการ
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}=\ln k+\gamma +\varepsilon_k$$
เมื่อ $\gamma$ คือค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี และ $\varepsilon_k$ เป็นเหมือนเศษเหลือซึ่งมีค่าประมาณ $\displaystyle{\frac{1}{2k}}$ เมื่อ $k$ มีค่ามากๆ
สมการนี้เป็นการประยุกต์ของค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนีอย่างหนึ่งโดยสมการนี้ผมเอามาจาก
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmoni..._(mathematics)

วันนี้ผมเพิ่มบทพิสูจน์เพื่อใช้ได้กับกรณีของจำนวนจริงเรียบร้อยแล้ว เข้ามาช่วยกันตรวจสอบด้วยครับ

ลองอ่านดูแล้วนะครับ ผมว่าอย่างแรกที่ต้องทำคือ เขียนสิ่งที่เราคิดว่าจริงออกมาเป็นภาษาคณิตศาสตร์ให้ได้ก่อนครับ

เช่น การอ้างว่าเนื่องจาก $n\to\infty$ จึงสามารถประมาณ $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor$ ด้วย $\frac{n}{a}$

เขียนออกมาเป็นบทพิสูจน์ได้หรือไม่ มันจริงมั้ย และต้องแก้ยังไงถ้ามันไม่จริง

ผมจะลองทำดูครับ

เข้าไปแก้หลายจุดเลยครับ รวมถึงการอ้างว่า เนื่องจาก $n\to \infty$ จึงสามารถประมาณ $\left\lfloor\,\frac{n}{a}\right\rfloor$ ด้วย $\frac{n}{a}$ ผมพิสูจน์เรียบร้อยแล้วครับ ใช้ inequality กับสมบัติที่ว่าค่าคงที่ไม่มีผลต่อลิมิต นอกจากนั้นผมยังเจอหลายจุดที่ควรเติมลิมิตลงไป ผมก็เติมแล้วครับ ส่วนข้อผิดพลาดอื่นๆ ผมก็ขอฝากงานไว้ให้กับคุณ nooonuii ก็แล้วกันครับ