ช่วยอธิบายเรื่อง order หน่อยค่ะ
 

ตามหัวข้อเลยนะคะ ช่วยอธิบายพวกการใช้ order หน่อยค่ะ

ขอบคุณมาก :please::please:

Order ของอะไรครับ

นิยาม สำหรับ $a,n$ ซึ่ง $(a,n)=1$ ให้ $k=ord_na$ คือจำนวนนับน้อยที่สุดซึ่ง $a^k \equiv 1 \pmod{n}$

วิธีการใช้ก็จะมีทฤษฎีบทมากมายครับ เช่น

1. $ord_na | \phi (n)$

2. $ord_na^h=\dfrac{k}{(k,h)}$ เมื่อ $k=ord_na$

แล้วเวลาหาค่านี่หายังไงหรอค่ะ

คิดว่าเป็นคำถามที่ยังไม่มีใครตอบได้ในกรณีทั่วไปครับ ต้องพิจารณาเป็นกรณีไป

ที่เรารู้แน่ๆก็คือ มันเป็นตัวประกอบของ $\phi(n)$ ครับ ส่วนใหญ่ก็ต้องสุ่มเอาจากจุดนี้

แต่บางกรณีอาจจะมีสูตรที่ชัดเจนครับ

แล้วมันมีสูตรในกรณีเฉพาะแบบไหนบ้างครับ
พอดีศึกษาเรื่องนี้อยู่ อยากเห็นไปเป็นแนวทางครับ

สูตรที่พอจะใช้ได้ก็ที่ #3 ให้ไว้ครับ

โจทย์ที่ใช้แนวคิดของ order ก็อย่างเช่น

1. จงพิสูจน์ว่า $2^n+3^n$ หารด้วย $17$ ไม่ลงตัวทุกจำนวนเต็มบวก $n$ โจทย์ผิด

2. ถ้า $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $2^{2^n}+1$ แล้ว $ord_p2=2^{n+1}$

แต่ถ้าอยากฝึกพื้นฐานก็ลองหาค่าพวกนี้ดูครับ

1. $ord_75$

2. $ord_{16}11$

3. $ord_{31} 5$

4. $ord_{17}2$

ยากจังครับ ข้อ1 ทำไงหรอครับ

ข้อนี้โจทย์ผิดครับ เพราะ $2^8+3^8\equiv 0\pmod{17}$

อุตส่าห์หาโจทย์มาจากหนังสือ ลอกมาทุกคำพูดคิดว่าไม่ผิดแน่ :cry:

ข้อแรกเอาอันนี้ไปแทนครับ ง่ายๆ

1. ให้ $a,n$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า $n\mid \phi(a^n-1)$

ลองดูตัวอย่างข้อสอบจากค่าย 3/2553 ศูนย์กรุงเทพฯดูครับ

มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

ขอบคุณมากค่ะ เข้าใจขึ้นเยอะเลย

ตอนแรกเห็นเพื่อนๆเค้าเรียนเรื่องนี้กันเตรียมสอบค่าย3อ่ะค่ะ แต่ปรากฏว่าปีนี้อาจารย์มาแปลก ไม่ได้สอนเรื่องใหม่ แต่สอนทำโจทย์แทน :)

อ.ณรง ใช่ไหมครับ โหดไหมครับผมไม่เคยเรียน 555+

แล้วที่บอกว่าสอนเป็นโจทย์ คือมีหนังสือให้ที่เป็นโจทย์ล้วน หรือเขียนใส่กระดาษหน้าเดียวA4 แต่ไม่มีหนังสือให้หรอครับ

เค้าให้คะแนนยาก ถ้าทำไม่ได้หรือซุยไม่เนียนจริงๆก็ได้ยากค่ะ

ส่วนโจทย์เค้าให้มาเป็นชีทแล้วจดเฉลยเอาค่ะ

ปล. อีก1คะแนนก็ได้เข้าแล้ว เสียดายแทนจัง

ทำอย่างนี้ปะครับ
$a^n \equiv 1 \pmod{a^n-1}$
จะพิสูจน์ว่า $n$ เป็นจำนวนน้อยที่สุด
เพราะถ้าให้ $a^k \equiv 1 \pmod{a^n-1}$ โดยที่ $k <n$
จะเกิดข้อขัดแย้งเพราะ $a^k-1 <a^n-1$
และจาก ทบ ออยเลอร์ เราจะได้ $a^{\displaystyle \phi(a^n-1)} \equiv 1 \pmod{a^n-1}$
ดังนั้น $n\mid \phi(a^n-1)$