convergent sequence
 

ขอ Hint หน่อยครับ
Let $y_n = x_n + 2x_{n+1}$ for each $n \geq 1$. Show that if $(y_n)$ is convergent, then $(x_n)$ is convergent.

ต้องแสดงก่อนว่า $(x_n)$ มีขอบเขตโดย induction

เนื่องจาก $(y_n)$ มี limit ดังนั้น $(y_n)$ มีขอบเขต: $|y_n| < A$ ทุกๆ $n$

ให้ $B=max\{A,|x_1|\}$ สมมติว่า $|x_n|<B$ เราจะได้

$2|x_{n+1}| = |y_n-x_n| \leq |y_n| + |x_n| < 2B$ ดังนั้น $|x_{n+1}| < B$

โดย induction $|x_n|<B$ ทุกๆ $n$

ให้ $\lim y_n = c$

จาก $y_n-x_n=2x_{n+1}$ ใส่ limsup เข้าไปทั้งสองข้าง

$\limsup (y_n-x_n)=c-\liminf x_n = 2\limsup x_n \ \ \ \ \ \ \ (1)$

ถ้าใส่ liminf เข้าไปแทนจะได้

$\liminf (y_n-x_n)=c-\limsup x_n = 2\liminf x_n \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

แก้สมการออกมาจะได้ว่า $\limsup x_n = \liminf x_n = \dfrac{c}{3}$
ดังนั้น $(x_n)$ มี limit $\dfrac{c}{3}$

ขอบคุณมากๆครับ อืม ดูซับซ้อนจริง

ถามอีกนินดึงครับ
Let $I \subseteq \mathbb{R}$ be an open interval, let $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ be differentiable on $I$, and suppose that $f''(a)$ exists at $a \in I$. Show that $$f''(a) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}.$$
ผมกะว่าถ้าใช้ Taylor serie กระจายเทมอจนถึงอนุพันธู์อันดับ 2 ก็น่าจพิสูจน์ได้ แต่ติดปัญหาครับ เหมือนว่า Taylor serie ต้องการให้ฟังก์ชันที่จะกระจายมีโดเมนเป็นช่วงปิด (ปัญหานี้พอหาวิธีแก้ได้) $f, f'$ ต่อเนื่องบนโดเมน และ $f''$ exist บนบาง open interval เงื่อนไขสุดท้ายนี้ ขาดครับ งง เพราะ เค้าบอกแค่ $f''(x)$ exists ที่ $a$ จุดเดียว เลยติดดดดด

ไล่นิยามดีกว่าครับ

อ้อ ครับ จะลองดูตามคำแนะนำครับ