ช่วยหน่อยค่าาาาา คิดไม่ออกสักที
 

กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมใดๆ และให้ $A$ เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปนี้
จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2+c^2 \geqslant 4\sqrt{3}A $
คิดไม่ออกอ่ะคะ ขอความกรุณาด้วยนะค่ะ

มีเฉลยเยอะแยะครับ เพราะมันเป็น IMO1961

ส่วนเฉลยข้างล่างนี้ผมคิดเอง

จากสูตรของ Heron จะได้ $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ เมื่อ $s=\dfrac{a+b+c}{2}$

ให้ $x=\dfrac{a+b-c}{2},y=\dfrac{b+c-a}{2},\dfrac{c+a-b}{2}$ จะได้

$a=z+x,b=x+y,c=y+z,s=x+y+z$

ดังนั้นอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ

$(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2 \geq 4\sqrt{3}\sqrt{xyz(x+y+z)}$

ซึ่งสมมูลกับ

$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\geq 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}$

จากอสมการ $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ และ $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ จะได้ว่า

$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \geq 2(xy+yz+zx)\geq 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}$ ตามต้องการ $\blacksquare$

Weitzenböck inequality

ขอบคุณมากนะคะ