รบกวนรังนกอีกเเล้วครับ
 

1.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็ม n+2. จำนวน จะต้องมีสองจำนวนซึ่งมีผลบวกหรือผลต่างหารด้วย 2n. ลงตัว
2.จงเเสดงว่าในลำดับ. 7,77,777,7777,...... จะต้องมีจำนวนหนึ่งที่หารด้วย 2003. ลงตัว:please::please:

1. จับคู่เศษที่บวกกันได้ 2n เป็นรังนก (นับรัง 0-2n ด้วย) แล้วให้จำนวนเต็ม n+2 จำนวนนี้เป็นนก
2. ให้ 7,77,777,...,7...7 (2004 ตัว) เป็นนก เศษ 0,1,...,2002 เป็นรังนก

ขอบคุณครับ

ข้อแรก คงแบ่งรังเอง ไม่ยากนะครับ
ข้อสอง
7,77,777,777...7,... มีเป็นอนันต์ตัว แต่รังคิอ residue group ของ 2003
ซึ่ง มี 2003 ตัว ดังนั้น จาก PHP จะได้ มี อย่างน้อยสองตัวที่มีเศษเท่ากัน
777....777 (i ตัว)$ \equiv r mod 2003......(1)$
777....777 (j ตัว)$ \equiv r mod 2003......(2)$
โดย i>j
$(1)-(2) = 77777..70000....0 \equiv 0 mod 2003$
777..77000...0 = 7777...7(i-j ตัว) $*10^j$
ซึ่ง$ (10^j,2003)=1 $
ดังนั้น 777...7(i-j ตัว)$ \equiv 0 mod 2003$