Functional Equation
เห็นว่าน่าสนใจดีครับ :)
จงหา ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f:R^+\rightarrow R^+$ $$f(x+f(x)+y)=2x+f(y)$$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ |
บรรทัดสุดท้ายต้องเป็น $R^+$ รึป่าวครับ
|
อ้างอิง:
$P(x,x);$ $\quad f(2x+f(x))=2x+f(x)$ $P(2x+f(x),y);$ $\quad f(4x+2f(x)+y)=4x+2f(x)+f(y)$ $P(x,y+3x+f(x));$ $\quad f(4x+2f(x)+y)=2x+f(3x+f(x)+y)$ $P(x,y+2x);$ $\quad f(3x+f(x)+y)=2x+f(y+2x)$ $\therefore 4x+2f(x)+f(y)= f(4x+2f(x)+y)=2x+f(3x+f(x)+y)=4x+f(y+2x)$ $\therefore f(y+2x)=f(y)+2f(x)$ ให้แทนด้วย $Q(x,y)$ $Q(x,2), Q(1,2x)$ $\quad f(2+2x)=f(2)+2f(x)=f(2x)+2f(1)$ $f(2x)-2f(x)=f(2)-2f(1)$ ให้ $c=f(2)-2f(1)$ $f(2x)=2f(x)+c$ $Q(\frac{x}{2},y)$ $\quad f(x+y)=f(y)+2f(\frac{x}{2})=f(y)+f(x)-c$ ให้ $g(x)=f(x)-c$ $g(x+y)=g(x)+g(y)$ จาก $g: (0,\infty) \rightarrow (-c,\infty)$, $g$ มีขอบเขตล่าง ดังนั้น $g(x)=mx$ สำหรับบางค่าคงที่ $m$ $f(x)=mx+c$ แทนใน $Q(x,y)$, $c=0$ แทนใน $P(x,y)$, $m=1$ $\therefore f(x)=x$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นคำตอบ |
เก่งมากครับ :great: ส่วนข้างล่างเป็นวิธีของผมนะครับ
เเทนค่าให้ $y=x$ ได้ $f(2x+f(x))=2x+f(x)$ เเล้วเเทน $y$ ด้วย $2y+f(y)$ ในโจทย์ ได้ว่า $f(x+2y+f(x)+f(y))=f(y)+2(x+y)=f(x+2y+f(x+y))$ ทำให้ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (จากตรงนี้ใช้ สมการโคชีครับ) |
ถ้าจะใช้ solution นี้ต้องพิสูจน์หนึ่งต่อหนึ่งด้วยครับ
|
ใช่ครับ เพราะจริงๆเเล้วพิสูจน์ได้ไม่ยากนักครับ
|
พิสูจน์ยังไงครับ
|
ให้ $f(x)=f(y)$ จะได้ว่า $$2x+f(y)=f(x+y+f(x))=f(x+y+f(y))=2y+f(x)$$
ซึ่งจะได้ว่า $x=y$ ครับ (สมการหลังเกิดจากการสลับตัวเเปรในโจทย์ครับ) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:22 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha