[Abstract Algebra] ชวนคุยเรื่อง เอกลักษณ์และอินเวอร์ส ครับ
 

อยากทราบว่า การที่ การดำเนินการภายใต้เซ็ตไม่มี เอกลักษณ์ จะสามารถ มีอินเวอร์ส ได้หรือไม่ครับ

ตัวอย่าง

A = { -1, 1}

(A, +)

เซตนี้ชัดเขนว่าไม่มีเอกลักษณ์ เนื่องจาก 0 ไม่อยู่ในเซ็ต A

แต่เมื่อพิจารณานิยามของอินเวอร์ส

For each a in G, there exists an element b in G, commonly denoted a−1 (or −a, if the operation is denoted "+"), such that a • b = b • a = e, where e is the identity element.
(จาก Wikipedia)

เนื่องจาก 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0

เราจะได้ว่า สมาชิกทุกตัวมีอินเวอร์ส และมี 0 เป็นเอกลักษณ์ เพียงแต่เอกลักษณ์ ไม่ได้อยู่ในเซต A เท่านั้น!

สำหรับตรงนี้ผมรู้สึกว่า (A, +) มีอินเวอร์ส โดยไม่ขัดตามนิยาม
หากแต่ยังรู้สึกขัดข้องใจกับการที่ (A, +) ไม่มีเอกลักษณ์ (มี แต่ไม่อยู่ใน A)
จึงอยากฟังความคิดเห็นของทุกท่านครับ

$+$ ตัวนี้นี่นิยามยังไงอะครับ คือเท่าที่ผมดูคือผมสงสัยตรงที่ $(A,+)$ นี่มีสมบัติปิดหรือเปล่าครับ แล้วจะมาบอกว่า $-1+1=0$ ได้ยังไง

ปล. ผมเองก็ยังไม่ค่อยแม่นนะ แค่ศึกษาผ่าน ๆ ผิดถูกยังไงก็มาอภิปรายถกเถียงกันได้ครับ

+ คือบวกธรรมดาครับ

เซตนี้ไม่มีสมบัติปิดครับ

คือถ้าใช้บรรทัดฐานที่ว่า
ก่อนมีอินเวอร์สต้องมีเอกลักษณ์
ก่อนมีเอกลักษณ์ต้องมีสมบัติการสลับที่
ก่อนมีสมบัติการสลับที่ต้องมีสมบัติปิด
กลุ่ม(A,+)ก็จะสรุปได้ว่ามีสมบัติการมีอินเวอร์ส
แต่ถ้าใช้บรรทัดฐานหรือค่านิยมอื่นอาจจะให้ผลเป็นอย่างอื่น
จะลองให้การบ้านไปทำตามบรรทัดฐานข้างต้นดูนะครับเช่น
$A=\left\{-1,1\right\} $แล้วกลุ่ม$(A,×)$มีสมบัติอินเวอร์สหรือไม่

ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด คือ อันนี้เป็นความสัมพันธ์ที่เป็น $f: A\times A \rightarrow \{-2,0,2\}$ ใช่ไหมครับ

ยังสับสนอยู่นิดหน่อยครับ

ลำดับน่าจะเป็น ปิด -> เปลี่ยนกลุ่ม -> เอกลักษณ์ -> อินเวอร์ส
ซึ่งถ้าเรียงตามนี้ (A, +) น่าจะ ไม่มี อินเวอร์ส นะครับ

สำหรับ (A, x) อันนี้มีอินเวอร์สครับ

ใช่ครับ ผลลัพธ์จากการดำเนินการนี้คือ -2, 0, 2

อันนี้ทำแบบไปข้างหน้าครับ
ลองทำแบบย้อนกลับดู
ก็จะได้ว่ากรุ๊ป(A,+)ตามที่น้องตั้งโจทย์มาไม่น่าจะมีอินเวอร์สถูกแล้วครับ