โจทย์ฮ่องกงมาฝากช่วยกันคิด
 

ปี 2003-2004

ภาคแรก ข้อ 1 - 4

ข้อ 5

ข้อ 6

ข้อ 7 - 8

ข้อ 9 - 10 - 11

ข้อ 12 -13 -14

part B
ข้อ 15

ข้อ 16

-อ 17

ข้อสุดท้าย

สิบสี่ข้อแรกครับ....

1. $\sqrt{7+2(1+\sqrt3)(1+\sqrt5)}=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2+(\sqrt5)^2+2(\sqrt3+\sqrt5+\sqrt{15})}=1+\sqrt3+\sqrt5$
2. $9x^2+6x+2004=((\sqrt{11}-1)^2+2(\sqrt{11}-1)+1)+2003=11+2003=2014$
3. ข้อนี้ลองวาดกราฟแล้วนับดูครับ ผมนับได้ 6
4. เราทราบว่า $17^3=4913$ ดังนั้น $15/19=0.79$
5. พื้นที่สี่เหลี่ยม RSTD=$(4\sqrt2-3\sqrt2)^2=2$ ตร.ซม.
6. จุด D
7. พื้นที่ใน $n^{th}$-Stage=$(\frac59)^n$ ดังนั้นพื้นที่ใน Stage 10=$(\frac59)^{10}$
8. $2^3+4^3+\dots+30^3=2^3(1^3+2^3+\dots+15^3)=115200$
9. หนึ่งวันเดินเรือตามน้ำได้ 1/5 ของระยะทางและเดินเรือทวนน้ำได้ 1/7 ของระยะทาง ดังนั้นหากล่องเรือตามน้ำหนึ่งวันจะได้ $\frac12(\frac15-\frac17)=\frac1{35}$ ของระยะทาง ดังนั้นหากล่องเรือตามน้ำโดยไม่เดินเครื่องจะใช้เวลา 35 วัน
10. $CD=\sqrt{AD\cdot DB}=4\sqrt2$
11. ให้ x และ y แทนจำนวนผู้ออกเสียงชายและหญิงในปีก่อน ดังนั้น $\frac{120}{100}(x+y)=\frac{110}{100}x+\frac{125}{100}y$ หรือ $y=2x$ ดังนั้น $\frac{(5/4)y}{ (6/5)(x+y)}=25:36$
12. เพราะ $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2004}$ ดังนั้น $a_{2004}=1+\frac{2003}{2004}=\frac{4007}{2004}$
13. หากเรียงข้อมูลชุดนี้จากน้อยไปมาก เลขตัวที่ห้าและหกต้องเป็น 10 เลขสี่ตัวแรกต้องมีผลรวมมากที่สุดและแตกต่างกัน นั่นคือ 6,7,8,9 เพราะพิสัยเป็น 10 ดังนั้นเลขตัวสุดท้ายจึงเป็น 6+10-1=15
14. ลำดับนี้แปดตัวแรกคือ a₁, a₂, a₁+a₂, a₁+2a₂, 2a₁+3a₂, 3a₁+5a₂, 5a₁+8a₂, 8a₁+13a₂
เพราะ a₇= 5a₁+8a₂ ดังนั้น 5|(200-8a₂) โดยพิจารณาเงื่อนไขโจทย์ประกอบจะได้ a₁=8, a₂=20 และ a₈=8x8+13x20=324

Edit: แก้ข้อ 11,13 ตามคำแนะนำของคุณ Passer-By

ถึง พี่nongtum

ผมสงสัยข้อ3 เขาถามว่าอะไรครับ ที่หาจำนวนจริงที่เป็นบวกของx,yใช่ไหมครับ แล้วทำไมพี่เขียนว่า เขียนกราฟได้36รูป ผมไม่เข้าใจครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ :confused:


และขอแย้งข้อ12 ผมตอบ aที่2004 = 1/2004 เพราะผมหาค่าd = -1/2004 เพราะข้อนี้เป็นโจทย์อนุกรมที่ลดลง aที่n-1 > aที่n

ข้อสามใช่ครับ อ่านโจทย์ผิด เลยนับผิดไปด้วย ที่จริงมันมีแค่หกคู่คือ (1,3),(1,2),(1,1),(2,2),(2,1),(1,3) เพราะโจทย์ถามถึงคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของอสมการนี้ครับ

ข้อสิบสอง หากได้ผลต่างร่วมเป็น -1/2004 จริงจะได้ว่า $2004\cdot\frac{2003}{2004}=2003\ne2005=1+2004$ ครับ

ขอต่ออีกสองข้อ
17. จากรูป ปริมาตรของ tetrahedron ในรูปเกิดจากการหักรูปพีระมิดฐานสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปออกจากลูกบาศ์ก ดังนั้นโดยไม่เสียนัยหากให้ความยาวด้านของลูกบาศ์กเป็น 1 จะได้พื้นที่ของ tetrahedron เป็น $1-4(\frac13(\frac12))=\frac13$ อัตราส่วนที่ต้องการจึงเป็น 1:3

18. ให้ $n-2,\ n,\ n+2$ เป็นเลขคู่สามตัวนี้
เราทราบว่า $3^3<37<4^3$ ดังนั้น $300^3<n^3-4n<400^3$
เพราะ $35^3=42875$ ดังนั้น $300^3<n^3-4n<350^3$
เพราะ $33^3=35397$ และ $34^3=39304$ ดังนั้น $330^3<n^3-4n<340^3$
เพราะผลคูณลงท้ายด้วยสอง ดังนั้นเลขหลักหน่วยของ $n$ จึงเป็น 6 และ 334,336,338 เป็นเลขสามตัวที่ต้องการ
หมายเหตุ: $334\cdot336\cdot338=37931712$

ใครคิดข้อ 15,16 ได้แล้วก็เชิญแปะได้เลยครับ ไม่ต้องรอผม

15. 30 องศา คับ