ถ้าเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็จะมีมุมยอดเป็น 80 องศา

อ้อ...หมายถึงว่ามุมที่ฐานเป็น $50^{\circ}$ สองมุมใช่มั้ยครับ

แต่ผมหมายถึงว่า ถ้ามุมเล็กสุดคือมุมยอด $50^{\circ}$ มุมที่ฐานจะมากสุดได้แค่มุมละ $65^{\circ}$ อ่ะครับ

50 - 51 - 79

79 > 65

65 จึงไม่ใช่มุมที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้


50 - 50 - 80

80 > 65

65 จึงไม่ใช่มุมที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้

31.
$13\sqrt{x+y}+7\sqrt{134-x}+6\sqrt{120-y} = 254$

จาก Cauchy-Schwarz ได้ว่า

$13\sqrt{x+y}+7\sqrt{134-x}+6\sqrt{120-y} \leqslant \sqrt{13^2+7^2+6^2}\sqrt{254}$

$13\sqrt{x+y}+7\sqrt{134-x}+6\sqrt{120-y} \leqslant 254$

จาก (1) ได้ว่า $\dfrac{13}{\sqrt{x+y}} = \dfrac{7}{\sqrt{134-x}} = \dfrac{6}{\sqrt{120-x}} = k,\exists k\in \mathbb{R}$

แก้ หา $x,y$ ได้ $x = 85 ,y = 84$

$\therefore 3x+y = 255+84 = 339$

32.
$5x^7 = 11y^{13}$

เนื่องจาก $x,y \in \mathbb{N}$ ได้ว่า $11 \mid x$

$x = 11^b*c^d = 11k$

$y = \sqrt[13]{\dfrac{5}{11}x^7} = \sqrt[13]{5*11^6*k^7}$

เนื่องจาก $x$ ที่สอดคล้องน้อยที่สุด ดังนั้น $k = 11*5^{h}$

$k^7 = 11^7*5^{7h}$

$13 \mid 7h+1 ; h = 11 $

$\therefore x = 11^2*5^{11} $

$a+b+c+d = 11+5+11+2 = 29$

อ้อ...จริงสินะครับ :haha:
เข้าใจแล้วครับ ผมมึนเอง ขอบคุณคุณอา banker แล้วก็ คุณ artty60 ด้วยครับผม :please::please:

ช่วยเฉลยข้อ27 29 33 34 หน่อยครับ ท่านเทพทั้งหลาย

จำนวนบอลที่เก็บได้มากสุดคือ 33 ใบ และมีลูกบอลทั้งหมด 29 ลูก นั่นคือเหลือที่ว่างทั้งหมด 4 ที่
นับวิธีวางที่ว่าง น่าจะง่ายกว่าครับ

ใช้ star and bar แจกที่ว่างให้กล่องสี่ใบ แล้วลบ 1 กรณีที่ที่ว่างทั้งสี่อันไปลงกล่องที่เก็บบอลได้แค่ 3 ลูก
คำตอบ คือ 7C3-1 = 35-1 =34

ข้อ 27 ตอบ 2,222 หรือเปล่าคะ
$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

ผมเดาเอานะว่ามี 9 จำนวน มีเลขโดด 10 ตัว แต่หักเลข 0 ไป 1ตัว ที่นำไปอยู่หน้าสุดไม่ได้

นั่งสมาธิมองเห็นตัวเลขเหล่านี้

$1234987650$

$2349876501$

$3498765012$

$4987650123$

$5012349876$

$6501234987$

$7650123498$

$8765012349$

$9876501234$

ปล.มันน้อยจำนวนยังไงชอบกล:p

มีคน pm ถามเกี่ยวกับแนวคิดข้อ 34 ผมเลยวาดรูปเฉลยมาให้ดูเพิ่มเติมครับ :sung:

เงื่อนไขที่ใช้สร้างรูปคือ $x^2+y^2 = 8^2 = 64,\ z^2+y^2 = 23^2 = 529\ และ\ (x+z-y)^2+x^2 = 17^2 = 289$

Attachment 12610

ข้อ 30 ครับ
มั่วแหลก :eek::eek::eek:

ข้อ 29 นะครับ

ให้ $n = \overline{abcdefghij} $ เนื่องจาก $a + b + ... + j = 45$ ดังนั้น $n$ หารด้วย 9 ลงตัว

แต่เนื่องจากโจทย์ต้องการให้ $n$ หารด้วย 11111 ลงตัว แต่ ห.ร.ม (9, 11111)= 1 แสดงว่า n ต้องหารด้วย 99999 ลงตัว

เราจะเอา 99999 ไปใช้ได้อย่างไร ให้สังเกตว่า 99999 จะห่างกับ 100,000 อยู่ 1 ดังนั้น ถ้าจัดกลุ่มเลขโดดของ n เป็น

$n = \overline{abcde} \overline{fghij} = \overline{abcde} \times 10^5 + \overline{fghij} = 99999\overline{abcde} + \overline{abcde} + \overline{fghij} $

แสดงว่า $ \overline{abcde} + \overline{fghij} $ ต้องหารด้วย 99999 ลงตัว

แสดงว่า $ \overline{abcde} + \overline{fghij} = 99999k$ และจะได้ว่า $k = 1$ เท่านั้นที่เป็นไปได้

และเนื่องจาก a, b, c, ... , f เป็นเลขโดดที่ต่างกันหมด ดังนั้นการที่ $ \overline{abcde} + \overline{fghij} = 99999$ แสดงว่า a + f = b + g = c + h = d + i = e + j = 9

แต่เราทราบว่า

9 = 0 + 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5

ที่เหลือก็เป็นกฎการนับ 10 ขั้นตอนต่อเนื่องกันนะครับ ของการดูว่า a, b, ... เป็นอะไรได้บ้าง ผมขี้เกียจพิมพ์ละ :p

จะได้ $9 \times 1 \times 8 \times 1 \times 6 \times 1 \times 4 \times 1 \times 2 \times 1 = 3456$

สุดยอดเลยครับท่านgon:great:

ช่วยเฉลยข้อ 14 19 แล้วก็33 ให้หน่อยน้าคะ