โจทย์สมการเชิงฟังก์ชันที่น่าสนใจ
 

โจทย์ข้อนี้ผมว่ามีความสวยงามมากครับ เลยอยากให้มาลองทำกันดู

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R^+}$ ทั้งหมดซึ่ง

ใช้ sequence คับ

ใช้อสมการบีบเเล้วเทคลิมิตครับ

ดูน่าสนใจดีครับ ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ พี่จูกัดเหลียง

ผมยังไม่ได้คิดละเอียดนะครับเเต่ไอเดียคร่าววๆคือ จากสมการฟังก์ชันเราได้ว่า ทุกจำนวนจริงบวก $x$ จะได้ $f(x)<6x$ เเล้วก็เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ จัดรูปได้ $f(6x-f(x))=7f(x)-6x$ ได้ว่า $f(x)>\dfrac{6x}{7}$ ทุกจำนวนจริงบวก $x$ (ตั้งเเต่นี้เลยนะครับ)

จากสมการตั้งต้น $\dfrac{6f(x)}{7}<f(f(x))=6x-f(x)\rightarrow f(x)<4x$ ซึ่งเราจะได้ว่า $f(f(x))=6x-f(x)>2x$ สำหรับทุก $x>0$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x)$ในอสมการ $f(f(x))>2x$ ได้ว่า $7f(x)-6x>2f(x)\rightarrow f(x)>\dfrac{6x}{5}$ จากนั้นก็ทำคล้ายๆเดิมไปเรื่อยๆครับ (น่าจะ $f(x)=2x$ ได้ในที่สุดครับ ) เเล้วหาความสัมพันธ์ในรูปของ $n$ เพื่อบีบทั้ง 2 ข้างเเล้วเทคลิมิตครับ ( ตรงนี้ยังไม่ได้คิดนะครับเเต่คิดว่าน่าจะได้อยู่:haha: )

:please::please: สุดยอดครับ เป็นไอเดียที่ดีมากเลยครับ