ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sck (ข้อความที่ 166313) เจอเด็กเอามาให้เฉลยให้ แต่มองไม่ออก แบบฝึกหัดเรื่องสมการกำลังสองเด็กกิ๊ฟ

เนื่องจาก $p$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว

$p^2-5p+3 = 0 \Rightarrow p^n - 5p^{n-1} + 3p^{n-2} = 0 ... (1)$

ทำนองเดียวกัน

เนื่องจาก $q$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว

$q^2-5q+3 = 0 \Rightarrow q^n - 5q^{n-1} + 3q^{n-2} = 0 ... (2)$

(1)+(2), $A_n - 5A_{n-1} + 3A_{n-2} = 0$

ดังนั้น $A_n = 5A_{n-1} - 3A_{n-2}$

ทำให้ได้ว่า $A_{n+1} = 5A_n - 3A_{n-1} ... (3)$

แต่จากที่โจทย์กำหนดให้ $A_m = 5A_n - 3A_{n-1} ... (4)$

เทียบ (3) กับ (4) ได้ $n + 1 = m \Rightarrow m - n = 1$

เพราะฉะนั้น $A_{m-n} = A_1 = p + q = 5$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja (ข้อความที่ 166763) ถามข้อนึงครับ จากแบบฝึกหัดเหมือนกัน กำหนด $$x+y+z=14$$ $$x^3+y^3+z^3=15$$ $$x^5+y^5+z^5=83$$ จงหาค่า $x^2+y^2+z^2$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon (ข้อความที่ 166317) เป็นโจทย์ สพฐ.รอบแรกปี 2552 ครับ. ข้อสอบคณิต สพฐ. ม.ต้น คัดเลือกผู้แทน 2552 solution เนื่องจาก $p$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว $p^2-5p+3 = 0 \Rightarrow p^n - 5p^{n-1} + 3p^{n-2} = 0 ... (1)$ ทำนองเดียวกัน เนื่องจาก $q$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว $q^2-5q+3 = 0 \Rightarrow q^n - 5q^{n-1} + 3q^{n-2} = 0 ... (2)$ (1)+(2), $A_n - 5A_{n-1} + 3A_{n-2} = 0$ ดังนั้น $A_n = 5A_{n-1} - 3A_{n-2}$ ทำให้ได้ว่า $A_{n+1} = 5A_n - 3A_{n-1} ... (3)$ แต่จากที่โจทย์กำหนดให้ $A_m = 5A_n - 3A_{n-1} ... (4)$ เทียบ (3) กับ (4) ได้ $n + 1 = m \Rightarrow m - n = 1$ เพราะฉะนั้น $A_{m-n} = A_1 = p + q = 5$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon (ข้อความที่ 166765) ใช้เอกลักษณ์นี้ดูครับ (ลองพิสูจน์ให้ได้ก่อนนำไปใช้นะครับ) ;) คำตอบจะสวยหรือไม่ ขึ้นอยู่กับว่าตั้งให้ลงตัวหรือไม่นะครับ ถ้า $a+b+c+d = 0 \Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\cdot \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{3} = \frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{5}$