[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2557] มาแชร์ข้อสอบ สอวน. 57 กันเถอะ
 

ผมสอบของศูนย์มอ.หาดใหญ่ครับพอจะจำได้บ้างประมาณนี้

1.กำหนด x,y เป็นจำนวนจริง
$x^3+x^2y=2$
$y^3+y^2x=8$

จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมด

2.กำหนดให้ a,b,c,d และ a<b<c<d เป็นจำนวนนับ
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})=4$
จงหา a,b,c,d ทั้งหมด

3.กำหนด $P(X)=x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ ให้ $P(X)$ หาร $P(X^{18})$ จะเหลือเศษเท่าไหร่

นำ $4$ คูณสมการแรกแล้วลบด้วยสมการที่สอง แยกตัวประกอบได้ก็จบครับ

$4.\frac{x+y-3z}{z}=\frac{x-3y+z}{y}=\frac{-3x+y+z}{x}$
จงหา $\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz}$

ตอบ $-1,8$ ครับ

$8$ น่ะเดาง่ายครับ แต่ $-1$ ต้องบวก $4$ เข้าไปทุกเทอมในสมการ

ตอบ $9$ โจทย์เก่าครับ มีคนเฉลยไว้หลายแบบ

ผมตอบ 8 ไปอย่างเดียวอ่ะครับ -1 ทำยังไงอ่ะครับ

ทำเงื่อนไข $x+y+z=0$ หายไปครับ

ขอวิธีข้อ 2 ด้วยครับงงแท้

ข้อนี้ยากสุดแล้วครับในบรรดาข้อเติมคำตอบ

สังเกตว่า $4=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})<(1+\frac{1}{a})^2(1+\frac{1}{b})^2$

ดังนั้น $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})>2$

จัดรูปได้ $(a-1)(b-1)<2$

จึงได้ $(a-1)(b-1)=0,1$

สุดท้ายใช้เงื่อนไข $a<b$ จะได้ $a=1$ เท่านั้น

ก็จะได้สมการ $(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})=2$

ต่อไปจะหาขอบเขตของ $b$ จาก

$2=(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})<(1+\frac{1}{b})^3$

จะได้ $b<\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1<5$

ถ้า $b=4$ จะได้ $c\geq 5, d\geq 6$ ดังนั้น

$(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})\leq \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{4}<2$

ดังนั้น $b=2,3$ เท่านั้น แทนค่า $b$ แล้วแก้หา $c,d$ จะได้คำตอบทั้งหมดคือ

$(a,b,c,d)=(1,2,4,15), (1,2,5,9), (1,2,6,7), (1,3,4,5)$

ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii ผมทำไม่ได้ครับข้อนั้นยากจริงๆ :(

ขอบคุณมากค่ะ


$ 4.\frac{x+y-3z}{z}=\frac{x-3y+z}{y}=\frac{-3x+y+z}{x}$
จงหา $\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz}$


:)

นึกได้อีกข้อครับ

$\frac{A}{B} -\frac{1}{2} =\frac{(A-1)}{(B-2)}$ จงหาค่าต่ำสุดของ $A^2+B^2 $

$A,B$ ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วยหรือเปล่าครับ

จัดรูปสมการได้เป็น $B^2-4B+4A=0$

จะเห็นว่า $B$ เป็นจำนวนเต็มคู่ สมมติ $B=2C$

จะได้ $(A,B)=(2C-C^2,2C)$ เมื่อ $C$ เป็นจำนวนเต็ม

จะพบว่า $C\neq 0,1$ ดังนั้นคู่อันดับที่เป็นไปได้คือ

$(A,B)=(0,4), (-3,6), (-3,-2),...$

จะได้ว่า $A^2+B^2$ มีค่าต่ำสุดคือ $(-3)^2+(-2)^2=13$

ขอบคุณมากๆครับ :please: เพิ่มเติมครับ

กำหนด $a_0=20$ $a_1=14$ และ $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ และ $n=1,2,3,4,...,2014$
จงหา $a_1+a_2+a_3+...+a_{2014}$

$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$
$a_{n+3}=a_{n+2}-a_{n+1}$
$a_{n+4}=a_{n+3}-a_{n+2}$
$a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4}=a_{n+3}-a_n$
$a_{n+2}+a_{n+4}+a_n=0$
$n=1,a_1+a_3+a_5=0$
$n=2,a_2+a_4+a_6=0$
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=0$
$n=7,a_7+a_9+a_{11}=0$
$n=8,a_8+a_{10}+a_{12}=0$
$a_7+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}=0$
ผลบวกทีละ 6 พจน์เป็นศูนย์ ดังนั้นเหลือเศษคือ $a_{2014}+a_{2013}+a_{2012}+a_{2011}$
รู้ว่า $a_{2014}+a_{2012}+a_{2010}=0$
$a_{2013}+a_{2011}+a_{2009}=0$
$a_{2014}+a_{2013}+a_{2012}+a_{2011}=-(a_{2009}+a_{2010})$
$a_{n+3}=-a_n$
$-a_{n+3}=a_{n+6}=a_n$ แสดงว่าเครื่องหมายของพจน์ $a_n$ กับ $a_{n+6}$ เหมือนกัน
$a_{2009}=-a_{2006}$
$2009=5+6(334)$ แสดงว่า $a_{2009}$ มีเครื่องหมายตรงกับ $a_5$และ $a_5=(-a_2)$
$a_{2010}=a_{2007}=...=a_0$
$a_{2010}$ มีเครื่องหมายตรงกับ $a_0$
$-(a_{2009}+a_{2010})=-(a_0-a_2)$
$a_2=a_1-a_0=14-20=(-6)$
$-(a_{2009}+a_{2010})=-(a_0-a_2)=-(20+6)=(-26)$