|
โจทย์ตรีโกณมิติสุดโหด :-)
Find the value of
$tan^21^\circ+tan^23^\circ+tan^25^\circ ...+tan^289^\circ$ ช่วยผมทำทีครับ :great: |
จากการยัดเครื่องคิดเลข มันได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 4005 ครับ แต่ผมยังนึกไม่ออกว่าจะจัดการกับข้อนี้อย่างไรดี...:sweat:
|
ผมก็สนใจโจทย์ข้อนี้. แต่ยังไม่มีเทพท่านมาตอบ.ผมคิดว่าโจทย์คงโหดเกินไป.
|
อ้างอิง
"จากการยัดเครื่องคิดเลข มันได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 4005 ครับ แต่ผมยังนึกไม่ออกว่าจะจัดการกับข้อนี้อย่างไรดี....." หว้านั่งกดเครื่องคิดเลขตั้งแต่1,3,5,...,89 เลยหรอครับ ผมเขียนโปรแกรม วนลูปหา ก็ได้ 4005 เหมือนกันอะครับ ลองเอา code ไปดูได้ครับ เป็น c# นะ แต่คงแกะไปเป็น c or c++ ก็ไม่ได้ยากเย็นอะไร using System; class Sumtan { static void Main(string[] args) { int i; double sum=0; for(i=1;i<=89;i+=2) sum+=Math.Pow(Math.Tan((i*Math.PI)/180),2); Console.WriteLine("The sum is {0}",(int)sum); } |
อ้างอิง:
|
$\tan ^2 1 ^\circ + \tan ^2 89 ^\circ = 2 + 4\tan ^2 88 ^\circ$ (แปลงเป็นฟังก์ชัน sine กับ cosine แล้วจัดรูป) ทำนองเดียวกับมุมคู่อื่น ๆ ที่รวมกันได้ 90 องศา ยกเว้น 45 องศาที่ไม่มีคู่ ดังนั้น $\tan ^2 1 ^\circ + \tan ^2 3 ^\circ + ... + \tan ^2 89$ $= 45 + 4(\tan ^2 4 ^\circ + \tan ^2 8 ^\circ + ... + \tan ^2 88 ^\circ) \quad ... (*)$ หาผลบวก $\tan ^2 4 ^\circ + \tan ^2 8 ^\circ + ... + \tan ^2 88 ^\circ$ ได้ดังนี้ พิจารณาสมการ $45 \theta = n\pi$ จะได้ $23 \theta = n \pi - 22 \theta$ ดังนั้น $$\tan 23 \theta = - \tan 22 \theta$$ ให้ $\tan \theta = x$ จะได้ว่า $$\frac{\binom{23}{1}x - \binom{23}{3}x^3 + ... + \binom{23}{21}x^{21} - \binom{23}{23}x^{23}}{\binom{23}{0} - \binom{23}{2}x^2 + ... + \binom{23}{20}x^{20} - \binom{23}{22}x^{22}} = -\frac{\binom{22}{1}x - \binom{22}{3}x^3 + ... - \binom{22}{19}x^{19} + \binom{22}{21}x^{21}}{\binom{22}{0} - \binom{22}{2}x^2 + ... + \binom{22}{20}x^{20} - \binom{22}{22}x^{22}}$$ ย้ายข้างแล้วจัดรูปจะได้ว่า$$x^{45} - (\binom{23}{21}\binom{22}{22} + \binom{23}{23}\binom{22}{20} + \binom{23}{22}\binom{22}{21})x^{43} + ... + 45x = 0 $$ตัด $\tan \theta = 0$ ทิ้ง ดังนั้น $$x^{44} - 11(23 + 21 + 46)x^{42} + ... + 45 = 0$$ $$(x^2)^{22} - 990(x^2)^{21} + ... + 45 = 0$$ โดย Vieta's Relation$$\tan ^2 4 ^\circ + \tan ^2 8 ^\circ + ... + \tan ^2 88 ^\circ = 990$$ ดังนั้น $(*) = 45 + 4(990) = 4005$ :great: |
พี่ gon ก้ยังเทพเหมือนเดิม
สุดยอด คิดได้ไงเนี่ย!!! |
นั่นสิครับ พี่กร คิดไปได้ยังไง
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
แนวคิดทั่วไปของโจทย์แบบนี้ก็คือ
สร้างสมการพหุนามที่มีเหล่าอสูรกายตรีโกณทั้งหลายเป็นรากครับ ผมก็ลองดูแล้วแต่มั่วเกินเลยถอดใจไปซะก่อน :cry: ต้องใช้วิธีลดทอนแบบเหนือชั้นก่อนเหมือนที่พี่ Gon ทำครับ :great: |
ตรง $tan^2A+cot^2A=2+4cot^22A$ นิคิดมาจากไหนหรอครับจากประสบการณ์หรือว่าฝันมาครับ สุดๆๆไปเลยครับผมจัดรูปตรีโกณไม่ได้อะครับ T_T ขอบคุณมากๆครับพี่ gon :-)
|
ตอบรวม ๆ ก่อนนะครับ เรื่องตรีโกณโดยเฉพาะเอกลักษณ์ ผมค่อนข้างมีความสนใจเป็นพิเศษ ปัญหานี้จึงเข้าทางผมพอดี :happy:
สำหรับที่คิดว่าคิดได้ไง อุปมาก็เหมือนคนเคยเดินเล่นในป่าแห่งหนึ่ง วนซ้ำไปซ้ำมาอยู่หลายครั้ง เมื่อเห็นปัญหาที่เหมือนกับป่าแห่งนั้น ก็พอจะเข้าใจได้ครึ่งทางว่าจะต้องเดินอย่างไร จึงจะหาทางออกจากป่าได้ อย่างที่ nooonuii บอกครับ คือต้องสร้างสมการที่มีรากอันสวยสดงดงามเหล่านั้น ซึ่งปัญหาเบื้องต้นก็คือถ้าสมการ $m \theta = n \pi$ โดยที่ m เป็นจำนวนคู่ การสร้างสมการที่มีรากเป็นกำลังสองจะทำไม่ได้ (หรืออาจจะทำได้ แต่ผมยังไม่เคยลองเล่นอย่างจริงจัง) ดังนั้นที่ต้องทำในเบื้องต้น คือ แปลงปัญหาให้อยู่ในรูปสมการ $m \theta = n \pi$ โดยที่ m เป็นจำนวนคี่ นั่นเองครับ. อ้างอิง:
ส่วนการประยุกต์ดูในชุดที่ 32 ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ สำหรับคำถามของน้อง RoSe-JoKer : โดยปกติแล้ว การจัดรูป ผมจะยึดหลักกว้าง ๆ ไว้ว่า ให้แปลงเป็นฟังก์ชันพื้นฐานทั้งสอง คือ sine กับ cosine ลองดูแนวทางตามนี้ครับ $\frac{\sin ^2 1 ^\circ }{\cos ^2 1 ^\circ} + \frac{\sin ^2 89 ^\circ }{\cos ^2 89 ^\circ} = \frac{ (\sin 1 ^\circ \cos 89 ^\circ)^2 + (\sin 89 ^\circ \cos 1 ^\circ)^2}{(\cos 1 ^\circ \cos 89 ^\circ)^2} $ นำ 4 คูณทั้งเศษและส่วน จากนั้นใช้สูตร $2\sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin(A - B), 2\cos A \cos B = ...$ กระจายออกมาจะได้ $\frac{2 + 2\sin^2 88^\circ}{\cos 88^\circ} = 2\sec^2 88^ \circ + 2\tan^2 88^ \circ = 2(1 +\tan^2 88^ \circ) + 2\tan^2 88^ \circ = 2 + 4\tan^2 88^\circ$ ซึ่งเมื่อเราใช้แนวคิดเดียวกันนี้กับสมการ $(2m + 1)\theta = n\pi$ ก็จะได้เอกลักษณ์ $$\tan^2 \frac{\pi}{2m+1} + \tan^2 \frac{2\pi}{2m+1} + ... + \tan^2 \frac{m\pi}{2m+1} = m(2m + 1) $$ และ $$\tan \frac{\pi}{2m+1}\tan \frac{2\pi}{2m+1} ... \tan \frac{m\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+ 1}$$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m นั่นเองครับ. :great: |
คุณพ่อผมได้เสนอวิธี วิธีหนึ่งคับ ศาลโปรดรับพิจารณาด้วยน้าคับ:please:
วิธีที่คุณพ่อผมคิดคือ \[\tan(89-1)^2 = (\frac{\tan(89) - \tan(1)}{1 + \tan(89)\tan(1)})^2\] \[4\tan^2(88) = {\tan^2(89) + \tan^2(1)-2\tan89 . \tan1}\] \[4\tan^2(88) + 2 = \tan^2(89) + \tan^2(1)\] ปล. \[\tan(89).\tan(1) = 1 \] มีสูตรลัดฝากทิ้งท้ายด้วยคับ ผลบวกของ \[\tan(เลขคี่)^2 \] (แต่ต้องตั้งแต่1องศา ไปจนมากกว่า45องศานะคับ จึงจะใช้ได้) $ผลบวกเลขคี่ = n(2n-1) เมื่อ n คือจำนวนพจน์ที่ยกกำลัง2$ $ผลบวกเลขคู่ = n(2n+1) เมื่อ n คือจำนวนพจน์ที่ยกกำลัง2$ ในที่นี้จะลองยกตัวอย่างโจทย์ข้อนี้ n = 45 จะได้คำตอบคือ 4005 ;);) |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:02 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha