พิสูจน์สูตรผลบวกกำลังสาม
 

พิสูจน์ว่า $$1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2$$
ผมพิสูจน์ไม่ได้ครับ:cry:

ลองอุปนัยฯดูหรือยังครับ :rolleyes:

$1+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3$
แล้วพยายามพิสูจน์ว่า $(\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3=(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2$

ส่วนใหญ่ ข้อนี้ผมเคยเห็นนะครับ ใช้เรื่องการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรต์อะครับ

ลองเขียนเป็น$ \Sigma k^3 = \Sigma \frac{ (k+1)^4 -k^4 -6k^2 -4k -1 }{4} $
แล้วก็กระจาย$ \Sigma $ ดูก็ได้ครับ

ถ้ารู้จักความสัมพันธ์เวียนเกิดอันนี้จะหาได้ทุกอันดับ

$\binom{k+1}{k}S_k+\binom{k+1}{k-1}S_{k-1}+\cdots+\binom{k+1}{1}S_1+\binom{k+1}{0}S_0=(n+1)^{k+1}-1$

เมื่อ $S_i=1^i+2^i+\cdots+n^i$

สำหรับ $k$ น้อยๆจะได้

$S_0=n$

$2S_1+S_0=(n+1)^2-1$

$3S_2+3S_1+S_0=(n+1)^3-1$

$4S_3+6S_2+4S_1+S_0=(n+1)^4-1$

ถ้าจะเข้าค่าย สอวน.อย่าลืมฝึกการพิสูจน์แนวคอมบิไว้ด้วยนะครับ :o

ถ้าจะฝึกแบบพีชคณิตก็ลองใช้ Tele sum ดูครับ โดย
ให้ $f(n)=n^3$ แล้วลองหาค่า $\sum_{i=1}^n(f(i+1)-f(i))$ (ในตำรา สอวน. ก็มีเขียนไว้ครับ)

พิสูจน์แบบเด็กประถม :haha:

$\because \ 1^3 = 1$

$\because \ 2^3 = 8 \ \to \ 1^3 +2^3 = 1+8 = 9 = (1+2)^2$

$\because \ 3^3 = 27 \ \to \ 1^3 +2^3 + 3^3 = 1+8+27 = 36 = (1+2+3)^2$

$\because \ 4^3 = 64 \ \to \ 1^3 +2^3 + 3^3 +4^3= 1+8+27+64 = 100 = (1+2+3+4)^2$
.
.
.
$ n^3 = n^3 \ \to \ 1^3 +2^3 + 3^3 +4^3 +...+ n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

$ = ((n+1) \times \frac{1}{2} n)^2 \ \ \ $(จับคู่หัวท้าย มี $\frac{1}{2} n$พจน์)

$ = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

สุดยอดเลยคร้าบบบบบบบบบบบบ
วิธีหลากหลายมาก ขอบคุณทุกท่านเลยครับ
(ตอบแทน จขกท เลยนะเนี่ย 555)