มีใครเคยเจอเอกลักษณ์นี้บ้างมั้ยคะ
 

เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1
$$\sum_{k = 1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2} \left(\,\frac{(n-1)k+n}{n-k} \right)\binom{n-1}{k-1}\left(\,\frac{n-k}{n} \right)^n = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} $$


คิดว่าสมการนี้เป็นจริงมั้ย ถ้าจริงแล้วเราจะจัดรูปด้านซ้ายของสมการให้เป็นตามด้านขวาของสมการได้ยังไง:confused:

ดูประหลาดดีจัง ไปเห็นมาจากไหนหรือมีความเป็นมาอย่างไรครับ เผื่อไปช่วยค้นหาคำตอบให้ เพราะง่ายกว่านี้ผมยังคิดไม่ออกเลย

ที่มาเราได้จากการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์บางอย่างค่ะ ซึ่งปัญหานี้มีวิธีแก้2วิธี(หรืออาจจะมากกว่า2วิธีก็ได้)

ทีนี้ถ้าใช้วิธีแรกแก้ปัญหา คำตอบที่ได้จะเป็นตามด้านซ้ายมือของสมการ

แต่ถ้าใช้อีกวิธีแก้ปัญหา คำตอบที่ได้จะเป็นตามด้านขวามือของสมการ

เราเลยได้ข้อสรุปออกมาเป็นสมการนี้ ซึ่งเราเห็นว่ามันแปลกดี

ก็เลยลองมาถามคนในนี้ดูว่ามีใครเคยเห็นเอกลักษณ์นี้บ้างมั้ย

ถ้าไม่มีใครเคยเห็นมาก่อนเลย มันอาจจะเป็นเอกลักษณ์ใหม่ก็ได้ อิอิ