นับยังไง
 

มีโจทย์เกี่ยวกับนับ 2 ข้อ ช่วยคิดหน่อย

ข้อแรก
มีช่องจอดรถยนต์เรียงเป็นแนวยาวสำหรับจอดรถได้ 16 ที่ ให้หาจำนวนวิธีนำรถยนต์ 8 คันเข้าไปจอดโดยไม่มีรถสองคันใดจอดติดกัน (ในหนังสือบอกว่าตอบ 9!)

ข้อสอง
มีหนังสือต่างกัน 12 เล่มจัดวางเรียงอยู่บนหิ้ง ให้หาจำนวนวิธีหยิบหนังสือออกมาจากหิ้ง 5 เล่มโดยไม่เป็นเล่มที่วางเรียงติดกัน (ข้อนี้ตอบ 56)

เอามาจากหนังสือโจทย์เสริมทักษะ ม.6 ของโรงเรียนเตรียม (น่าจะเฉลยถูกนะ)

ช่วยบอกวิธีคิดให้หน่อย ขอบคุณมาก

ข้อแรก :
แทนรถยนต์ด้วย c ; c ทั้ง 8 คันจัดเรียงกันได้ 8! แบบ

พิจารณา กรณีที่รถทั้งหมด ไม่ติดกัน จะต้องมีช่องว่างระหว่างรถแต่ละคัน อย่างน้อย 1 ช่อง

c _ c _ c _ c _ c _ c _ c _ c

หน้าที่ของเราก็คือ เอาที่ว่างที่เหลืออีก 1 ที่ไปใส่ พบว่าใส่ได้ทั้งหมด 9 แบบ ( ใส่หน้าแถว( 1 ) , ระหว่างรถแต่ละคัน ( 7 ) และท้ายแถว ( 1 ) )

จากกฎการนับได้วิธีการจอดรถทั้งหมด = 9 * 8! = 9!

ข้อสอง คิดไม่ออกคับ :D

อ่า .... ข้อสองคำตอบน่าจะเป็น 156 มากกว่าครับ

พิจารณาหนังสือ 12 เล่มวางอยู่บนชั้น

a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ , a₆ , a₇ , a₈ , a₉ , a₁₀ , a₁₁ , a₁₂

หารูปแบบทั้งหมดที่จะมีหนังสือ 5 เล่ม วางไม่ติดกัน
สมมุติให้ b แทนหนังสือที่ต้องการจะหยิบ
ดังนั้นระหว่าง b แต่ละเล่มต้องมีหนังสือที่ไม่ต้องการวางอยู่อย่างน้อยหนึ่งเล่ม

b_b_b_b_b ( รวม 9 เล่ม )

จะเหลือหนังสือที่ไม่ต้องการหยิบ 3 เล่มที่เราต้องนำไปจัดเรียง หน้ากลุ่ม , ในกลุ่ม , หลังกลุ่ม เพื่อหารูปแบบทั้งหมดที่จะมีหนังสือ 5 เล่ม วางไม่ติดกัน

แบ่งหนังสือ 3 เล่ม ออกเป็นกลุ่มได้ 3 รูปแบบ
(1) จัดเป็น 1 , 1 , 1
เล่มแรก : เลือกได้ 6 วิธี
เล่มสอง : เลือกได้ 5 วิธี
เล่มสาม : เลือกได้ 4 วิธี

จัดเรียงได้ทั้งหมด 6*5*4 = 120 วิธี

(2) จัดเป็น 1,2
เล่มแรก : เลือกได้ 6 วิธี
เล่มสอง : เลือกได้ 5 วิธี

จัดเรียงได้ทั้งหมด 6*5 = 30 วิธี

(3) จัดกลุ่มเดียวเป็น 3
จัดได้ทั้งหมด 6 วิธี

ดังนั้น เลือกหยิบหนังสือ 5 เล่มวางไม่ติดกันได้ 120 + 30 + 6 = 156 วิธี

ข้อสอง น่าจะตอบ 56 ถูกแล้วนะครับ
สมมติว่าถ้าเกิดเอาหนังสือออกไปแล้ว 5 เล่ม จะเหลือหนังสืออยู่ 7 เล่ม
ในลักษณะนี้ ฎ - - - - - - -
ทีนี้เราก็จะหาว่าหนังสือ 5 เล่มที่หยิบออกมานั้น มันมาจากตำแหน่งไหนได้บ้าง ก็จะเห็นได้ว่า ระหว่างหนังสือแต่ละเล่มในกอง 7 เล่ม จะมีหนังสือซึ่งเป็น 1 ใน 5 เล่ม ได้เพียงเล่มเดียว ก็เหมือนกับว่าเรากำลังหาวิธีในการเลือกช่องว่างให้หนังสือทั้ง 5 เล่มนี้ จากช่องว่างทั้งหมด 8 ช่อง (รวมหัวท้ายด้วย) เพราะฉะนั้น จำนวนวิธีก็เท่ากับ
8 เลือก 5 = 8!/5!3! = 56 วิธี

แงๆๆ ผิดไปแล้วครับ ขออภัยอย่างสูง = =" ( แต่ทำไมตัวเลขมันถึงบังเอิญได้ขนาดนั้น )

ขอบคุณมากๆ ;)