stars&bars
 

มีกี่วิธีที่จะแจกหนังสือคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน 12 เล่ม แก่นักเรียน 4 คน คือ นิด หน่อย จ๋า

อยากทราบหลักของ stars&bars ง่ายๆอะคับบ ไม่เข้าใจที่มาของสูตร

ถ้ามีโจทย์ประมาณว่า มีคน 5 คน มีหมวก 3 สี จะมีจำนวนวิธีการใ่ส่หมวกให้คนที่ง 5 คนได้กี่วิธีถ้าคนที่ใส่หมวกสีเดียวกันห้ามยืนติดกัน


มีส้ม 11 ผล และมีตะกร้า 3 ใบ จำนวนวิธีที่จะหยิบผลไม้ใส่ตะกร้า เมื่อตะกร้าทั้ง 3 ใบเหมือนกัน และผลไม้เหมือนกันหมด

อยากทราบว่าโจทย์แนวนนี้ทำไงอะคับ

ตัวอย่างข้อแรกนะครับ เราจะมองว่าหนังสือ 12 เล่มเป็น star และ จำนวนนักเรียน-1 เป็น bar
นั่นคือ มี star 12 ,bar 3 วิธีการหนึ่งในการแจกหนังสือคือ

$\star \star \star /\star \star \star \star /\star \star \star /\star \star $

ซึ่งแสดงถึงจำนวนหนังสือที่เด็ก 4 คนได้รับ คือ 3,4,3,2 เล่ม ตามลำดับ

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการแจกหนังสือก็คือ การสับเปลี่ยนของ 15 สิ่ง ซึ่งมีของซ้ำ
ซึ่งเท่ากับ $\frac{15!}{3!12!}$ ครับ

แก้แล้ว : ขอบคุณ คุณ MiNd169 ครับ

ถ้าแจกแบบนี้กรณีสามคนหรือสองคน(ตรงกลาง)ที่ไม่ได้หนังสือ จะไม่ถูกนับเข้าไปรวมด้วยนะครับ

น่าจะเป็น $\dfrac{15!}{3!12!} = 15C3$ รึเปล่าครับ :confused: (ถ้าคิดในกรณีที่แต่ละคนไม่จำเป็นต้องได้หนังสือ)

ไม่ทราบว่า คำตอบมาได้ไงคับบ รบกวนอธิบายคับ

ผมว่าน่าจะเป็น C(11,3) หรือเปล่าคับ เพราะเด็กต้องได้ทุกคน

ใช่แล้วครับผม:great:

ถ้าเด็กต้องได้ทุกคน ก็ตามนั้นครับ:great:

อ่อ ขอบคุณคับ ไม่ทราบว่าจะมีสูตรหรือทฤษฎีบทโดยไม่ต้องแจงไหมคับ

แต่ถ้าตะกร้าต่างกันจะจัดยังไงคับ

ถ้าไม่อยากแจกแจง ผมคิดแบบนี้ครับ
แจกผลไม้ทั้งหมด $11$ ผล ใส่ตะกร้า $3$ ตะกร้า โดยไม่มีเงื่อนไข ใช้ star&bar ได้

$\frac{13!}{2!11!}=78$ วิธี <------ อันนี้คือตะกร้าต่างกันครับ

ในจำนวนนี้ถ้าตะกร้าเหมือนกันหมด จะมีการนับซ้ำโดย

1. มีสองตะกร้าที่มีจำนวนผลไม้เท่ากัน มี $\binom{3}{2}\times6=18$ วิธี
ซึ่ง จะสับเปลี่ยนได้ $\frac{3!}{2!}=3$ วิธี
ดังนั้นจะมีวิธีเหลือ $\frac{18}{3}=6$ วิธี

2. ทั้งสามตะกร้ามีจำนวนผลไม้ไม่เท่ากันเลย คือ $78-18=60$ วิธี
ซึ่งสับเปลี่ยนได้ $3!=6$ วิธี
ดังนั้นจะมีวิธีเหลือ $\frac{60}{6}=10$ วิธี

รวม จะได้วิธีทั้งหมด $6+10=16$ วิธี

ขอบคุณคับ ขอถามต่อนะคับ
มีหนังสืออคณิตแตกต่างกัน 4 เล่ม และฟิสิกส์แตกต่างกัน 3 เล่ม จะหยิบออกมาอ่านได้กี่วิธี ถ้า
1) ต้องอ่านอย่างน้อย 1 เล่ม
2) ต้องอ่านอย่างน้อยวิชาละ 1 เล่ม
3) ต้องอ่านคณิตอย่างน้อย 1 เล่ม

ปล. และถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็นเป็นหนังคณิตเหมือนกันหมด หนังสือฟิสิกส์เหมือนกันหมดละคับ

ทำไมจำนวนไปอ่านคณิตและฟิสิกส์ จึงเป็นเท่านั้นอะคับ

และมีหนังสืออคณิตเหมือนกัน 4 เล่ม และฟิสิกส์เหมือนกันกัน 3 เล่ม จะหยิบออกมาอ่านได้กี่วิธี ถ้า
1) ต้องอ่านอย่างน้อย 1 เล่ม
2) ต้องอ่านอย่างน้อยวิชาละ 1 เล่ม
3) ต้องอ่านคณิตอย่างน้อย 1 เล่ม

ข้อ 1 ตอบ 19 วิธี
ข้อ 2 ตอบ 12 วิธี
ข้อ 3 ตอบ 16 วิธี
คำตอบมาได้ยังไงอะคับ

ไม่อ่านคณิตก็คืออ่านฟิสิกส์ ได้ $_3C_1+_3C_2+_3C_3=7$ ครับ

ไม่อ่านฟิสิกส์ก็คืออ่านคณิต....

หนังสือแต่ละเล่มเหมือนกัน ต้องอ่านอย่างน้อยหนึ่งเล่มคือ

ถ้าอ่าน 1 เล่มได้ 2 วิธี (คณิต หรือฟิสิกส์)
ถ้าอ่าน 2 เล่มได้ 3 วิธี (คณิต2เล่ม หรือ ฟิสิกส์2เล่ม หรือ คณิตและฟิสิกส์)
ถ้าอ่าน 3 เล่มได้ 4 วิธี (คณิต3เล่ม หรือ คณิต2เล่ม หรือคณิต1เล่ม หรือฟิสิกส์3เล่ม)
ถ้าอ่าน 4 เล่มได้ 4 วิธี (คณิต4เล่ม หรือ3เล่ม หรือ2เล่ม หรือ1เล่ม)
ถ้าอ่าน 5 เล่มได้ 3 วิธี (คณิต4เล่ม หรือ3เล่ม หรือ2เล่ม)
ถ้าอ่าน 6 เล่มได้ 2 วิธี (คณิต4เล่ม หรือ3เล่ม)
ถ้าอ่าน 7 เล่มได้ 1 วิธี (คณิต4เล่มและฟิสิกส์3เล่ม)

รวม 19 วิธี

อีกสองข้อก็ทำในลักษณะเดียวกันครับ

ผมขี้เกียจนั่งนับครับท่านณัฐพงษ์

มีหนังสืออคณิตเหมือนกัน 4 เล่ม และฟิสิกส์เหมือนกัน 3 เล่ม จะหยิบออกมาอ่านได้กี่วิธี ถ้า

1) ต้องอ่านอย่างน้อย 1 เล่ม

อ่านคณิตได้ $5$ วิธี อ่านฟิสิกส์ได้ $4$ วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านโดยอ่านวิชาละกี่เล่มก็ได้ เท่ากับ $5\times 4=20$ วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านอย่างน้อยหนึ่งเล่ม เท่ากับ $20-1=19$ วิธี

2) ต้องอ่านอย่างน้อยวิชาละ 1 เล่ม

อ่านคณิตได้ $4$ วิธี อ่านฟิสิกส์ได้ $3$ วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านอย่างน้อยวิชาละหนึ่งเล่ม เท่ากับ $4\times 3=12$ วิธี

3) ต้องอ่านคณิตอย่างน้อย 1 เล่ม

อ่านคณิตได้ $4$ วิธี อ่านฟิสิกส์ได้ $4$ วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านโดยต้องอ่านคณิตอย่างน้อยหนึ่งเล่ม เท่ากับ $4\times 4=16$ วิธี



ถ้าหนังสือต่างกันก็ใช้หลักการคิดเดียวกันครับ

มีหนังสืออคณิตต่างกัน 4 เล่ม และฟิสิกส์ต่างกัน 3 เล่ม จะหยิบออกมาอ่านได้กี่วิธี ถ้า

1) ต้องอ่านอย่างน้อย 1 เล่ม

อ่านคณิตได้ $2^4=16$ วิธี อ่านฟิสิกส์ได้ $2^3=8$ วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านโดยอ่านวิชาละกี่เล่มก็ได้ เท่ากับ $16\times 8=128$ วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านอย่างน้อยหนึ่งเล่ม เท่ากับ $128-1=127$ วิธี


2) ต้องอ่านอย่างน้อยวิชาละ 1 เล่ม

อ่านคณิตได้ $2^4-1=15$ วิธี อ่านฟิสิกส์ได้ $2^3-1=7$ วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านโดยต้องอ่านอย่างน้อยวิชาละ 1 เล่ม เท่ากับ $15\times 7=105$ วิธี

3) ต้องอ่านคณิตอย่างน้อย 1 เล่ม

อ่านคณิตได้ $2^4-1=15$ วิธี อ่านฟิสิกส์ได้ $2^3=8$ วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดในการอ่านต้องอ่านคณิตอย่างน้อย 1 เล่ม เท่ากับ $15\times 8=120$ วิธี

ขอบคุณท่าน lek2554 มากครับ
ง่ายกว่าเยอะเลย :please::please: