Vietnam Mathematical Olympiad 2005 problem 4
หาฟังก์ชัน \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) ทั้งหมดที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้
\[ \displaystyle f(f(x-y))=f(x)\cdot f(y)-f(x)+f(y)-xy \] |
มีใครแก้ได้บ้างหรือยังครับ :)
|
เดาไว้ว่า f(x) = - x ครับ แต่ยังไม่ได้ลงมือพิสูจน์เลย
|
จาก \(f(f(x-y)) = f(x)f(y) - f(x) + f(y) - xy \cdots (0)\)
แทน \(y = 0 : f(f(x)) = f(0)f(x) - f(x) + f(0) \cdots (1)\) สมมติให้ \(A = f(0)f(x) \Rightarrow f(\frac{A}{f(0)}) = A - \frac{A}{f(0)} + f(0) \) สมมติให้ \(z = \frac{A}{f(0)} \Rightarrow f(z) = f(0)z - z + f(0)\) ดังนั้น \(f(x) = (c-1)x + c \quad ; c = f(0) \cdots (2) \) ต่อไปจะหาค่า c แทน x = 0 ลงใน (1) : \( f(f(-y)) = f(0)f(y) - f(0) + f(y) \cdots (3) \) จาก (2) เราจะได้ว่า \( f(-y) = -(c-1)y + c \) ดังนั้น \(f(f(-y)) = (c-1)[-(c-1)y + c] + c = -(c-1)^2y + c^2 = L.H.S \,ของ\, (3)\) แต่ R.H.S. ของ (3) คือ : \(c[(c-1)y + c] - c + (c-1)y + c = (c^2 - 1)y + c^2 \) L.H.S ของ (3) = R.H.S ของ (3) : \( -(c-1)^2 = c^2 - 1 \Rightarrow c(c-1) = 0 \Rightarrow c = 0 \quad หรือ \quad c = 1 \) จาก (2) ถ้า c = 0 แล้ว f(x) = -x เมื่อตรวจคำตอบใน (0) จะพบว่าจริง จาก (2) ถ้า c = 1 แล้ว f(x) = 1 เมื่อตรวจคำตอบใน (0) จะพบว่าเท็จ นั่นคือ f(x) = -x เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น ;) |
อืม conjecture ของผมถูกซะด้วยแฮะ
ให้ x = y = 0 จะได้ \( \Large{ f(f(0)) = f(0)^2 } \) ให้ x = y จะได้ \( \Large{ f(x)^2 = x^2 + f(f(0)) } \) ให้ x = f(0) จะได้ f(f(0)) = 0 หรือ f(f(0)) = 2 แทนค่าแล้วตรวจสอบจะพบว่า f(x) = -x เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียว |
ที่คุณgonทำผมสงสัยอย่างนึงครับ
ที่ให้ z=A/f(0) (= f(x)) (ทำไมถึงต้องให้ A=f(0)f(x)และ z=A/f(0) เพื่อให้ได้แค่ว่า z=f(x) และถ้าf(0)เป็น0 ก็อาจเกิดปัณหาได้อีก) ได้ว่า f(z)=f(0)z-z+f(0) แล้วทำไมถึงสรุปได้ล่ะครับว่า f(x)=(f(0)-1)x+f(0) ทุกๆ x ทั้งๆที่เรายังไม่ได้พิสูจน์เลยว่า z=f(x) เป็น onto |
ขอบคุณ คุณ Devil Jr ครับ. สำหรับเรื่องสมมติวนไปมา ตามภาวะสมองช่วงนั้น ที่จริงสมมติแค่ z = f(x) ก็พอ
ที่ผมหาไปเป็นเพียงฟังก์ชันทั่วถึงจาก R ไป R เท่านั้นครับ. มึนจริง ๆ เดี๋ยวว่าง ๆ จะลองต่อดูอีกทีครับ. ว่าจะคิดให้สมบูรณ์ได้ไหม คุณ Devil Jr ถ้าคิดวิธีที่สมบูรณ์ออกมาบอกก็ดีครับ. :) |
`khun noonii
Please show your full answer thank |
...
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:08 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha