โจทย์พีชคณิต
 

$1.$หาค่า$x$ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $(x^3+3)(x^2+2)(x+1)=104,040$

$2.$ให้$x=1+\sqrt{3}$
หาค่า $x^6-2x^5+x^4-6x^3+x^2-14x+3$

$3.a,b$ เป็นคำตอบของสมการ$x=\sqrt{x-\frac{1}{x} } +\sqrt{1-\frac{1}{x} }$
หาค่า $a^{13}+b^{13}$

ข้อ3.คล้ายๆฟีโบนักชีครับ ลองยกกำลังดู ถ้าจำไม่ผิดจะเรียกว่าลำดับของลูคัส

$2.$ให้$x=1+\sqrt{3}$
หาค่า $x^6-2x^5+x^4-6x^3+x^2-14x+3$

$x-1=\sqrt{3}$
$x^2=4+2\sqrt{3},x^4=28+16\sqrt{3}$
$x^2-2x=2 \rightarrow x^2-2x-2=0$

$x(x-2)=2 \rightarrow x^2(x-2)^2=4 $
$x-2=\sqrt{3}-1$

$x^6-2x^5+x^4-6x^3+x^2-14x+3$
$=x^4(x^2-2x)+x^2(x^2-2x)-4x(x^2-2x)-7(x^2-2x)-28x+3$
$=2x^4+2x^2-36x-11$
$=2x^4+2(x^2-2x)-32x-11$
$=2x^4+4-32x-11$
$=2(28+16\sqrt{3})-32(x-1)-39$
$=56+32\sqrt{3}-32\sqrt{3}-39$
$=17$

ลองอีกแบบครับ
$x=1+\sqrt{3} $
$(x-1)=\sqrt{3}$
$(x-1)^2=3$หรือ $x^2-2x+1=3$
ดังนั้น$x^2-2x=2$ จะได้ว่า
$(x^6-2x^5)+x^4-6x^3+x^2-14x+3$
$=x^4(x^2-2x)+x^4-6x^3+x^2-14x+3$
$=x^4(2)+x^4-6x^3+x^2-14x+3$
$=3x^4-6x^3+x^2-14x+3$
$=3x^2(x^2-2x)+x^2-14x+3$
$=3x^2(2)+x^2-14x+3$
$=7x^2-14x+3$
$=7(x^2-2x)+3$
$=7(2)+3$
$=17$

ข้อ 1. $x^6+x^5+2x^4+5x^3+3x^2+6x+6=104040$

$(x-7)(x^5-6x^4+44x^3-303x^2+2124x-14862)=0$

$x=7,x\approx 6.638$

$(x^3+3)(x^2+2)(x+1)$ แทน $ x = 7 $ ได้ $ (346)(51)(8) = 141168 \not= 104040 $

$x = \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$
$x- \sqrt{1-\frac{1}{x}} = \sqrt{x-\frac{1}{x}}$
$x^2 -2x \sqrt{1-\frac{1}{x}}+1-\frac{1}{x} = x-\frac{1}{x}$
$x^2-2\sqrt{x^2-x}+1-x = 0 $
$x^2-x -2\sqrt{x^2-x}+1 = 0 $
$(\sqrt{x^2-x} -1)^2 = 0$
$\sqrt{x^2-x} = 1$
$x^2-x =1$
$a^2-a =1,b^2-b=1$
$a^4 = a^2+2a+1 = 3a+2$
$a^8 = 9a^2+12a+4 = 21a+7$
$a^5 = 3a^2+2a = 5a+3$
$a^{13} = 105a^2 +98a+21 = 203a+126$
$\therefore b^{13} = 203b+126$
$a+b =1 ; a^{13}+b^{13} = 203(a+b)+252 = 203+252 = 455$
คุ้นๆ เหมือนออกใน TMO 1

โทษทีครับ ผมสะเพร่าเอง

$(x+7)(x^5-6x^4+44x^3-303x^2+2124x-14862)=0$

$x=-7,x\approx 6.638$

มันมี วิธีที่ดีกว่าสุ่มหารากไหมครับ