Analytic function on annulus
 

Let $f$ be a analytic (holomorphic) function on $0 < |z| < 1$ and $f$ does not "assume any value $w$ with $|w-1| < 2.$" What can be concluded about $f$ ?

มีคำถามยู่สองส่วนครับ
1. ไม่เข้าใจความหมายของ " $f$ does not assume any value $w$ with $|w-1| < 2$" คิดว่าหมายถึง for each $|w-1| < 2$, $f(z)\neq w$ for all $|z| < 1$ ไม่แน่ใจว่าใช่มั้ยครับ ?

2. What can be conclude about $f$ ? คำถามค่อนข้างกว้าง แต่เนื่องจาก $f$ analytic บน annulus $0 < |z| < 1$, น่าจะให้สรุปเกี่ยวของกับ singularity type of $0$ ซึ่งคิดว่า จาก Casorati-Wierstrass Thm : If $f$ is holomorphic on $\{0 < |z| < R\}$ and has an essential singularity at $z = c$, then the range of $f$ restricted to any neighborhood is dense in $\mathbb{C}$ คิดว่า $0$ ไม่สามารถเป็น essential ได้ เพราะ $f$ does not dense in any neighborhood of $0$ (จาก $f$ does not assume any value $w$ with $|w-1| < 2$ ถ้าแปลความหมายประโยคนี้ถูกนะครับ)

รบกวนช่วยแนะนำหน่อย ขอบคุณครับ

เข้าใจถูกแล้วครับ ถ้าไม่ใช่ essential singularity แล้ว มันควรจะเป็น singularity แบบไหนครับ

สามารถเจาะจงได้เลยหรอครับว่าเป็น singularity แบบไหน ? นึกว่าสรุปได้แค่ไม่ใช่ essential ครับ

ถ้า $f$ is bounded on $0 < |z| < 1$ ก็คงเป็น removable ครับ ถ้า unbounded ก็ pole แต่เงื่อนไขแค่ analytic on $0<|z| < 1$ กับ not assume any value $w$ with $0<|w-1|<2$ ไม่น่าเพียงพอที่จะใช้บอก(มั้ง)ครับ ถ้าสามารถชี้เฉพาะของ type of singularity ได้มากกว่านี้ รบกวน hint นิดนึงครับ

ยังไม่ได้คิดต่อเลยครับ แค่ตั้งคำถามไว้เพราะคิดว่าน่าจะบอก type of singularity ได้ครับ