กระทู้รวมเทคนิคการแก้โจทย์อสมการ
 

ตามคำแนะนำของ Web Master ครับ
กระทู้นี้เป็นกระทู้รวบรวมเทคนิคการแก้โจทย์อสมการ ใครมีเทคนิคการคิดอย่างไรบ้าง ขอเชิญเข้ามาแลกเปลี่ยนความรู้กันดีกว่าครับ ผมขอเขียนหัวข้อไว้คร่าวๆก่อน แล้วจะเข้ามาเติมในตอนหลัง ใครมีเทคนิคอะไรเพิ่มเติมก็เข้ามาเติมได้เลยครับ :please:

1. การใช้อสมการพื้นฐาน
2. การใช้อสมการสำเร็จรูป/อสมการกึ่งสำเร็จรูป
3. การทำย้อนกลับ/การจัดรูปไปสู่อสมการอื่นที่สมมูลกัน
4. การแทนค่าตัวแปร
5. สมมาตรของตัวแปร
6. การใช้เอกลักษณ์พีชคณิต
ุ7. การแยกกรณี
8. การพิจารณาเงื่อนไขที่ทำให้อสมการเป็นจริง
9. การหาข้อขัดแย้ง
10. Normalization
ุ11. Homogenization
12. การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
13. Calculus
14. อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ขออนุญาตเริ่มแล้วกันนะครับ ของ่ายๆก่อน อิอิ เริ่มต้นการแก้ปัญหาอสมการไม่มีหลักการตายตัวครับ ก่อนอื่นเราควรจะขีดๆเขียนๆ อสมการที่โจทย์ต้องการแล้วทำย้อนกลับไปก่อนซึ่งเป็น
เทคนิค การทำย้อนกลับ/การจัดรูปไปสู่อสมการอื่นที่สมมูลกัน ซึ่งต้องอาศัยประสบการณ์ครับ เช่น
ตัวอย่าง : ให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$ จงพิสูจน์ว่า
\[ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc\]
แนวคิด : ลองย้ายข้างตัวอสมการที่โจทย์ให้มา เป็น \[a^2+b^2+c^2 - ab - ac - bc \geq 0\]
เราสามารถจัดให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ (อย่างไร?) แล้วจัดกลุ่มได้เป็น
\[ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0\]
ซึ่งเป็นจริงเสมอ ถึงตอนนี้พอเริ่มพิสูจน์เราก็ทำย้อนกลับ ดังนี้
พิสูจน์ : เนื่องจาก \[ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0,\;\; \forall a,b,c\in \mathbb{R}\]
กระจายกำลังสองสมบูรณ์จะได้ \[2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc) \geq 0 \]
จัดรูปก็จะได้อสมการที่ต้องการ
ยังมีอีกหลายตัวอย่างนะครับ อันนี้ผมทิ้งไว้เป็นโจทย์ง่ายๆนะครับให้คนที่เข้ามาอ่านลองคิดดู โดยใช้เทคนิคการทำย้อนกลับ

จงพิสูจน์ว่า
1. ให้ $a_1,a_2,x \in \mathbb{R}$ โดยที่ $0<a_1<x<a_2$ จงแสดงว่า \[\frac{1}{x}+\frac{1}{a_1+a_2-x} < \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\]
2. ถ้า $a\geq b$ และ $x\geq y$ จงแสดงว่า $ax+by\geq ay+bx$
3. กำหนดให้ $0<x<1$ และ $0<y<1$ จงแสดงว่า $0<x+y-xy<1$

ปล. พี่ๆน้องๆท่านใดจะเฉลยก็ ซ่อนข้อความไว้ก็ดีนะครับ เผื่อว่าคนที่เข้ามาใหม่จะได้ลองคิดก่อน :great:

หลังจากขีดๆเขียนๆแล้ว ถ้าไม่เป็นผลก็ต่อไปแนะนำลองมองหาอสมการสำเร็จรูปที่เราจำได้ มาเพื่อใช้พิสูจน์ต่อไปครับ โจทย์ที่ยากคือเราต้องใช้หลายๆทักษะประกอบกัน แล้วก็ไม่รู้ว่าจะเริ่มตรงไหนก่อน สิ่งที่ช่วยได้คือประสบการณ์ครับ (ซึ่งผมก็ไม่ค่อยจะมี)
ต่อไปก็จะแนะนำอสมการที่สำคัญและควรจดจำให้ได้ครับ จะพิสูจน์สำหรับอสมการที่ไม่ยาก ก็แล้วกันนะครับ เพราะที่พิสูจน์ยากๆผมก็ งงเหมือนกัน :d
อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต-ฮาร์โมนิก (AM $\geq$ GM $\geq$ HM) สำหรับสองจำนวน
ให้ $a,b \geq 0$ จะได้ว่า \[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\]
ข้อสังเกต สำหรับ AM $\geq$ GMอสมการกลายเป็นสมการ เมื่อ $a=b$ (ลองทำดู)
อสมการ AM $\geq$ GM $\geq $HM สามารถขยาย ไปเป็น $n$ จำนวนได้ ซึ่งการพิสูจน์สามารถทำได้หลายวิธีแต่จะยุ่งยากขอละไว้นะครับ
อสมการค่าเฉลี่ยนเลขคณิต-เรขาคณิต-ฮาร์โมนิก (AM $\geq$ GM $\geq$ HM) สำหรับ $n$ จำนวน
ให้ $a_1,a_2, ..., a_n \geq 0$ จะได้ว่า \[\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt{a_1a_2...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\]

ตัวอย่าง : จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน $f(x)=x+\frac{1}{x},\; \; x\in \mathbb{R}^+ $ (โดยไม่ใช้ Calculus)

ตัวอย่าง : จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)=x(6-x)^2, \; \; x\in (0,6)$ (โดยไม่ใช้ Calculus)

อสมการโคชี-ชวาร์ช (Cauchy-Schwarz inequality)
$x_1,x_2,...,x_n, y_1,y_2,...,y_n \in \mathbb{R}$ จะได้ว่า \[\mid x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \mid \leq \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\cdot \sqrt{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2} \]
ความหมายเชิงเรขาคณิต ของอสมการนี้ คือ ถ้าให้ เวกเตอร์ $x = (x_1,x_2,...,x_n), y=(y_1,y_2,...,y_n)$ จะได้ว่า ผลคูณแบบดอทของสองเวกเตอร์จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง \[ \mid x\cdot y \mid \leq \|x\| \|y\|\]
การพิสูจน์อสมการนี้ผมขอแสดงวิธีที่น่าสนใจ (ที่เคยเห็นมา) คือใช้ Discriminant ของฟังก์ชัน ดังนี้
นิยาม \[ F(t)=(x_1+ty_1)^2+(x_2+ty_2)^2 +...+(x_n+ty_n)^2\]
ซึ่งจะเห็นว่า $F(t)\geq 0$ ทุกค่า $t\in \mathbb{R}$ ต่อไปทำการกระจายกำลังสองสมบูรณ์ จะได้
\[ F(t)= A+2Bt+Ct^2\]
โดยที่ $A=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2,\;\; B=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n,\;\; C=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$
ซึ่งเงื่อนไข $F(t)\geq 0$ เป็นจริงได้เมื่อ $(2B)^2-4AC \leq 0$ ซึ่งทำให้ได้อสมการที่ต้องการ

ตัวอย่าง : จงแสดงว่า $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$
(เทอมขวามือเราเรียกว่า Root Mean Square ย่อว่า RMS ครับสำหรับคนเรียนฟิสิกส์น่าจะเคยได้ยิน)

ตัวอย่าง : จงหาค่าสูงสุดของ $a\cos \theta +b\sin \theta,\;\; \theta \in \mathbb{R}$

ตัวอย่าง : จงแสดงว่า $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ โดยใช้อสมการ Cauchy-Schwarz
แบบฝึกหัด :
ให้ $x_1,x_2,x_3$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่า
\[(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{6}x_3)^2 \leq \frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{3}x_2^2+\frac{1}{6}x_3^2\]
ให้ $x_1,x_2,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $y_1,y_2,...,y_n$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนชุดหนึ่งของ $x_1,x_2,...,x_n$
จงแสดงว่า \[ \frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+...+\frac{x_n^2}{y_n} \geq x_1+x_2+...+x_n\]
จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ $2x+3y-6z$ เมื่อ $x,y,z\in \mathbb{R}$ ที่สองคล้องกับสมการ $x^2+y^2+z^2=1$

จากอสมการของโคชี จะทำให้เราได้ อสมการสามเหลี่ยม ดังนี้
ให้ $x_i,y_i \in \mathbb{R}$ สำหรับทุก $i = 1,2,...,n$ จะได้ว่า
\[ \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_i+y_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_i^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_i^2}\]

ขอยกอสมการสำเร็จรูปให้น้อง Magpie ไปก็แล้วกันครับ เพราะสรุปได้เยี่ยมมากเลยครับ :great: ในเมื่อพูดถึงอสมการสำเร็จรูปแล้ว ผมขอต่อด้วยอสมการกึ่งสำเร็จรูปก็แล้วกันครับ ตั้งชื่อให้ดูเก๋ไปงั้นแหละครับ:laugh: จริงๆแล้วมันก็คืออสมการที่ได้มาจากอสมการสำเร็จรูปอีกทีนึงนั่นเอง แต่เรานำไปใช้ประโยชน์ต่อได้ด้วย ส่วนใหญ่สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายจากอสมการสำเร็จรูปครับ เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำนำไปใช้จะขอเขียนเฉพาะอสมการสำหรับสามตัวแปรเท่านั้น(โจทย์ส่วนใหญ่จะเน้นอสมการสามตัวแปรครับ) ซึ่งบางอสมการอาจจะจริงสำหรับตัวแปรที่มีมากกว่าสามด้วย เอาล่ะลองดูครับว่าเรามีอสมการเหล่านี้ไว้เป็นอาวุธสำหรับทำโจทย์อสมการแล้วหรือยัง

ถ้า $a,b,c,x,y,z>0$ แล้ว

$1. \quad 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$2. \quad (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc$

$3. \quad \displaystyle{ (a+b+c)\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\geq 9 }$


$4. \quad \displaystyle{ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} }$

$5. \quad 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)^2\leq 3(a^4+b^4+c^4)$

$6. \quad a^2b+b^2c+c^2a \leq a^3+b^3+c^3$

$7. \quad ab^2+bc^2+ca^2 \leq a^3+b^3+c^3$

$8. \quad ab(a+b)\leq a^3+b^3$

เอาไว้คิดอะไรเพิ่มได้อีกจะมาต่อให้ครับ

ก่อนอื่นพิจารณา Lemma ที่จะนำไปพิสูจน์อสมการอื่นต่อไป และ เป็นตัวอย่างที่ใช้แคลคูลัสในการพิสูจน์ ดังนี้
Lemma : ให้ $t \in (0,1)$ และ $x,y \geq 0$ จะได้ว่า
\[ x^t y^{1-t} \leq tx +(1-t)y\]
จะใช้เทคนิคทางแคลคูลัส ในการพิสูจน์อสมการนี้ โดยพิจารณาดังนี้
กรณีที่ $x=0$ หรือ $y=0$ จะได้ว่าอสมการเป็นจริง ดังนั้นสมมติให้ $x>0,y>0$ เราจะพิสูจน์อสมการที่สมมูลกันแทนดังนี้ (เอา $y$ หารตลอด)
\[ (\frac{x}{y})^t \leq t(\frac{x}{y}) +1-t\]
สมมติให้ $f(x) = x^t-tx+t-1, \;\; x > 0, t\in (0,1)$ จะได้ว่า $f'(x)=tx^{t-1}-t =t(x^{t-1}-1)$
และ $f''(x)=t(t-1)x^{t-2}$ จะเห็นว่า $f'(x)=0$ ก็ต่อเมื่อ $x=1$ ซึ่งเป็นค่าวิกฤตเพียงค่าเดียว และ $f''(1) <0$ จึงได้ว่า $f$ ให้ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ $x=1$ จึงได้ว่า
\[x^t-tx+t-1 =f(x) \leq f(1) = 0 , \forall x>0\] ซึ่ง เป็นอสมการที่ต้องการโดยเปลี่ยนตัวแปร $x$ ไปเป็น $\frac{x}{y}$
จาก Lemma ข้างบนทำให้ได้ อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก สำหรับสองจำนวน ดังนี้
สำหรับ $x_1,x_2 \geq 0$ และ $w_1,w_2 \in \mathbb{R}^+$ ซึ่ง $w_1+w_2 =1$
\[ x_1^{w_1}x_2^{w_2} \leq w_1x_1+w_2x_2\]
และใช้การอุปนัยขยายไปเป็น $n$ จำนวนดังนี้
สำหรับ $x_1,x_2,...,x_n \geq 0$ และ $w_1,w_2,...,w_n \in \mathbb{R}^+$ ซึ่ง $w_1+w_2+...+w_n =1$
\[ x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdot ...\cdot x_n^{w_n} \leq w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n\]
และอสมการเป็นสมการเมื่อ $x_1=x_2=...=x_n$
ตัวอย่างติดไว้ก่อนครับ เดี๋ยวมาเพิ่มให้ (แอบไปอ่านก่อนแหะๆ :cool: )

ถามไรหน่อยนะคับ อสมการที่คุณ nooonuii ยกมานิ สามารถใช้ได้เลยหรือคับ บางอันก็พิสูจน์ได้ แต่บางอันก็ยังงงๆ อ่าคับ

อสมการที่พี่ noonuii แนะนำ ก็เป็นเพียงอสมการผลลัพธ์จาก อสมการสำเร็จรูปครับ ซึ่งเอาไปใช้งานได้เลย (ถ้าจำได้) แต่ผมจำไม่ค่อยได้ครับ ลองพิสูจน์ดูเป็นแบบฝึกหัดเลยจะดีมากครับ :D

ใช้ได้ครับ แต่ถ้าพิสูจน์ได้ด้วยก็จะดีมากครับ เดี๋ยวผมแทรกบทพิสูจน์ไว้ให้ดูด้วยครับ :)

ขอบคุณมากนะคับ เด่วผมดูแนวคิดเฉยๆ ดีกว่า จำไม่ได้อ่าคับ ^^]

ขอถามไรอีกอย่างได้ไหมคับ "เป็นผลโดยตรงจากอสมการการจัดเรียง"
อสมการการจัดเรียง คืออะไรอ่าคับ
แต่หลังจากอ่านของคุณ nooonuii ทำให้เข้าใจมากขึ้นไงก็ขอบคุณมากนะคับ ^^

อสมการการจัดเรียง มีอยู่ในหนังสืออสมการของสอวน.เรียบร้อยแล้วครับ ลองศึกษาดูก่อนครับ:)

5. สมมาตรของตัวแปร

โดยไม่เสียนัยทั่วไป (Without loss of generality หรือเขียนสั้นๆว่า WLOG) เป็นคำพูดสั้นๆที่ใช้แทนการเขียนพิสูจน์โดยการเลือกพิสูจน์กรณีเฉพาะกรณีหนึ่ง แต่บทพิสูจน์สามารถเป็นตัวแทนสำหรับการพิสูจน์ในกรณีอื่นๆและครอบคลุมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สำหรับการพิสูจน์อสมการนั้น เราไม่สามารถใช้คำนี้ได้เสมอไ้ป แต่จะมีอสมการอยู่ประเภทหนึ่งซึ่งเราสามารถพิสูจน์เพียงกรณีเดียวแต่ส่งผลให้อสมการเป็นจริงในกรณีที่เหลือทั้งหมด อสมการประเภทนี้เราเรียกว่า อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปร โดยทั่วไปการพิสูจน์อสมการนั้นเราอาจจะต้องเรียงค่าให้กับตัวแปรเพื่อนำเอาข้อสมมติจากการเรียงค่าให้ตัวแปรมาใช้ประโยชน์ด้วย แต่การแยกกรณีจะทำให้เราต้องเขียนบทพิสูจน์เยอะมากซึ่งไม่สะดวก สำหรับอสมการที่มีสมมาตรในตัวแปรเราสามารถเลือกพิสูจน์เพียงกรณีเดียว และโดยไม่เสียนัยทั่วไป อสมการจะจริงสำหรับทุกกรณี คราวนี้อสมการแบบไหนที่เราเรียกว่ามีสมมาตรในตัวแปร ?

อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปร คือ อสมการซึ่งไม่ว่าเราจะเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรด้วยวิธีใดก็ตามเราก็ยังคงได้อสมการเดิม เช่น อสมการ

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

ถ้าเราเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรด้งนี้ $a\to c, b\to a, c\to b$ แล้วแทนค่ากลับไปเราจะได้อสมการ

$$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\geq\frac{3}{2}$$

ซึ่งจะเห็นว่ายังคงเป็นอสมการเดิม สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรวิธีอื่นๆ(วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรสำหรับสามตัวแปรมีอยู่ทั้งหมด 6 วิธี) ก็จะให้อสมการเดียวกัน อสมการนี้จึงมีสมมาตรในตัวแปร

ต่อไปลองดูอสมการนี้บ้าง

$$a^3+3b^3+9c^3 \geq 9abc $$

ถ้าเราทำการเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรเสียใหม่ดังนี้ $a\to b,b\to c,c\to a$ เราจะได้อสมการเป็น $$b^3+3c^3+9a^3 \geq 9bca$$

ซึ่งจะเห็นว่าเราไม่ได้อสมการเดิม อย่างนี้ถือว่าอสมการไม่มีสมมาตรในตัวแปร ครับ

6. เอกลักษณ์พีชคณิต

เอกลักษณ์พีชคณิตมีความสำคัญอย่างยิ่งยวดในการแก้โจทย์อสมการพีชคณิตครับ มีเอกลักษณ์ที่น่าสนใจและนำมาใช้อยู่บ่อยๆดังนี้

1. $(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+bc+ca)$

2. $(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2) + 6abc$

3. $(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a+b)(b+c)(c+a)$

4. $a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

5. $(1+a)(1+b)(1+c) = 1 + (a+b+c) + (ab+bc+ca) + abc$

6. $(1-a)(1-b)(1-c) = 1 - (a+b+c) + (ab+bc+ca) - abc$

7. $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

8. $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$

9. $(a+b)(b+c)(c+a)+(1+a)(1+b)(1+c) = (1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)$

10. $(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)=3 + \Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)+\Big(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\Big)$

hint แบบฝึก
1 $\because$ $a_1$ $(a_2 - x)$ < $x$ $(a_2 - x)$

2. $\because$ $x$ $(a - b)$ $\geq $ $y$ $(a - b)$

3. 0<x<1 และ 0<y<1 และ 0<xy<1

ขอบคุณมากๆงับพี่ๆๆทุกคน