จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้ 4^n+n^4 เป็นจำนวนเฉพาะ
 

ช่วยทำหน่อยนะค่ะ แบบละเอียดเลย ทำไม่ได้งงมากๆ ขอบคุณค่ะ:confused:

เคยเห็นตัวนี้ไหม, $x^4+4y^4=(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$ (เป็นเทคนิคที่พบเห็นได้ทั่วไป)

จากที่ $4^n+n^4$ เป็นจำนวนเฉพาะ ก็จะได้ $n$ เป็นเลขคี่เสมอ (ถ้าเป็นคู่ ทั้งก้อนก็เป็นคู่)

ชัดเจนว่า $n=1$ เป็นหนึ่งคำตอบ นอกเหนือจากนี้ก็ให้ $n=2k+1$ สำหรับ $k\in\mathbb{N}$

$\therefore 4^n+n^4=4^{2k+1}+n^4=n^4+4\cdot2^{4k}=n^4+4(2^k)^4$

ซึ่งแยกตัวประกอบได้เสมอสำหรับจำนวนนับ $k$ และ $n=2k+1$

ดังนั้น $n=1$ เป็นคำตอบเดียว

ขอบคุณมากๆ เลยค่ะ แต่รบกวนแสดงวิธีแยกตัวประกอบที่ละเอียดอีกนิดได้มั้ยค่ะ ยังงงอยู่ค่ะ ขอบคุณค่ะ^^

$$x^4+4y^4=x^4+(4x^2y^2)+4y^4-(4x^2y^2)$$$$=(x^4+4x^2y^2+4y^4)-(4x^2y^2)$$$$=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$$$$=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)$$

ขอบคุณมากๆ เลยค่ะ ถ้าไม่เข้าใจรงไหนขอรบกวนพี่อีกรอบนะคะ ไม่ว่ากันนะคะ^^

รบกวนถามว่า ที่ 4^n ต้องแทน n=2k+1 มั้ยค่ะ ยังไง งงค่ะ ตอนที่จะต้องแก้สมการอธิบายว่าเมื่อมันแยกตัวประกอบได้ มันจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะอะค่ะ รบกวนอธิบายหน่อยนะคะ^^

แทน $n=2k+1$ ลงไปแค่ตรง $4^n$ ก็พอ อีกตัวไม่แทนลงไปเพราะมันจะทำให้ดูยุ่งยาก ได้เป็น $$n^4+4^{2k+1}=n^4+4(2^k)^4=(n^2+2^{k+1}n+2^{2k+1})(n^2-2^{k+1}n+2^{2k+1})$$ พิสูจน์ได้ไม่ยากครับว่าแต่ละวงเล็บ(โดยเฉพาะวงเล็บหลัง)มากกว่า 1 ลองจัดรูปดูดีๆ

ก็เราพิจารณาแล้วว่า n จะต้องเป็นจำนวนคี่

ซึ่งจำนวนคี่อยู่ในรูป 2k+1 ได้ครับ

แล้วเราก็ต้องการพิสูจน์กรณีที่ n ไม่เป็น 1 ว่ามันไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

แล้วถ้ามันไม่ใช่จำนวนเฉพาะนั้นก้แปลว่ามันสามารถแยกตัวประกอบเป็นอะไร ที่ไม่ใช่ 1 กับ ตัวมันเองได้อ่ะครับ :ohmy:

มาเสริมให้ครับ เอกลักษณ์ที่ต้องใช้คือเอกลักษณ์ Sophie Germain ครับ :great:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain